奇妙的算法【2】- 韩信点兵问题优化

 1，问题介绍

　　①淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”，其次有成语“韩信点兵，多多益善”。

韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信很快说出人数：104。

　　②在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

　　③问题：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

2，结题思路

思路1：【暴力求解法-遍历，效率低】

直接从0一直计算到很大的数值来进行判断

    public static int dealSingle1(int index0,int index1,int index2){//暴力求解
        boolean a,b,c;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE;i++){
            a=(i%3==index0);
            b=(i%5==index1);
            c=(i%7==index2);
            if(a&&b&&c){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

 

思路2：【利用数学的知识进行运算，进一步优化，应该是速度最快的】

　　先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26……

　　再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28……

　　这两列数中，首先出现的公共数是8。3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8，23，38，……，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30……就得出符合题目条件的最小数是23。

　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23。

    public static int dealSingle2(int index0,int index1,int index2) {//2,数学方法求解
        long startTime =  System.currentTimeMillis();
        int num=0,num1=0;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE;i++){
            num=5*i+index1;//修改优化，直接使用较大大数进行取值，进一步加快速度
            if(num%3==index0){
                break;
            }
        }
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE/15;i++){
            num1=num+15*i;
            if(num1%7==index2){
                long endTime =  System.currentTimeMillis();
                System.out.println("方法2：数学优化，耗时："+(endTime-startTime));
                return num1;
            }
        }
        return -1;
    }

思路3：【由大数主导数值运算，速度也很快】

    public static int dealSingle3(int index0,int index1,int index2){//处理单个数据
        long startTime =  System.currentTimeMillis();
        int num=-1;
        boolean a,b;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE/7;i++){
            num=i*7+index2;
            a=(num%3==index0);
            b=(num%5==index1);
            if(a&&b){
                long endTime =  System.currentTimeMillis();
                System.out.println("方法3：数学优化，耗时："+(endTime-startTime));
                return num;
            }
        }
        return num;
    }

 3，问题引申

　　计算出韩信点兵的所有结果【3，5,7全部为素数，那么在0~（3*5*7-1）这个范围内的所有数据都是其中的一种情况】

    public static int[][][] dealAll(){//每次只计算一次，直到所有数据
        int[][][] arr=new int[3][5][7];
        for(int i=0;i<(3*5*7);i++){
            arr[i%3][i%5][i%7]=i;
        }
        return arr;
    }