Luogu P5617 [MtOI2019] 不可视境界线

非常好题目。DP 强行优化 $O(n^3)\to O(n{\log }^{2}n)$。实际上是把 $O(nr\log n)$ 和 $O(nk\log n)$ 的两个 Subtask 结合起来得到正解。

具体来说就是：

1. 优化转移，此题中代价函数带三角函数十分复杂，考虑尝试 决策单调性（求导 / 四边形不等式）。
2. 优化状态，此题中要求 （恰好）选 $k$ 个圆 需要二维状态，考虑 wqs 二分 优化掉 $k$ 这一维状态。

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首先考虑 半径均为 $r$，圆心均在 $x$ 轴上的 $n$ 个圆 的面积并如何速求。显然直接按圆心位置线性扫一遍，判定圆 $i$ 与圆 $i-1$ 的位置关系，再用弓形面积算出重合面积即可。以相交情况看，即：

$$d(i,j)={\displaystyle \frac{p_i-p_j}{2}}$$

$$s(i,j)=r^2(\pi -2\arccos ({\displaystyle \frac{d(i,j)}{r}}))+2\cdot d(i,j)\sqrt{r^2-d^2(i,j)}$$

相离和包含情形是简单的。然后就可以进行简单的 $f_{n,k}$ DP，$O(n)$ 枚举上一个转移，复杂度是 $O(n^3)$ 的。但实际上跑不过去这一档分。

CAUTION: 三角函数 是 常数巨大 的。这里可以发现相交时才需要计算，这时显然有 $d(i,j)\in (0,r]$ 且为 整数，所以可以 $O(r)$ 预处理 所有 $\arccos ({\displaystyle \frac{x}{r}})$ 的值，可大大减小常数。

可以发现这个代价函数 $s$ 是一个很难优化转移的形式。可以意识到类似的问题也出现在 $s$ 为难于分离 $i,j$ 的高次函数的情况下，这时候 决策单调性 的方法常用。

若考虑求导，此题中 $s$ 看起来可导，求出来二阶导数确实是非负的，因此 $s$ 具有凸性，可以用决策单调性优化。但是显然过于难算，并不实用。

因此考虑证明 $s(i,j)$ 满足四边形不等式。这个直接回归几何意义（圆的交）分类讨论即可。

于是用 分治 或 二分队列 求解。可以做到 $O(n^2\log n)$。

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现在转移可以做到均摊 $O(\log n)$，但是状态数始终是 $O(nk)$ 而 $k\le n\le {10}^5$。所以必须优化掉 $k$ 这一维，也就是去掉 恰好选出 $k$ 个 的限制，使用 wqs 二分。

Proof：显然 $k$ 这一维上的 $f_{n,k}$ 是凸的。几何意义亦可证明。

套路地，每次额外给 每选出一个圆 加上一个贡献 $mid$ 即可。

$$f_i=max(0,mid+\underset{k=1}{\overset{i-1}{max}}{f}_i+s(k,i))$$

同样可以用决策单调性优化 $\underset{k=1}{\overset{i-1}{max}}{f}_i+s(k,i)$ 的转移。

最终复杂度 $O(n\log n\log k)$。