P2595 [ZJOI2009] 多米诺骨牌

轮廓线 DP + 外部容斥。似乎是 CDQ 论文题。

有一个 $n\times m$ 的矩形表格，其中有一些位置有障碍。现在要在这个表格内放一些 $1\times 2$ 或者 $2\times 1$ 的多米诺骨牌，使得任何两个多米诺骨牌没有重叠部分，任何一个骨牌不能放到障碍上。并且满足任何相邻两行之间都有至少一个骨牌横跨，任何相邻两列之间也都至少有一个骨牌横跨。求有多少种不同的放置方法，注意并不需要放满所有没有障碍的格子。$n,m\le 15$。

1. 轮廓线思维是经典的优化状压 DP 方法。相比于一次确定一行时不仅要枚举上行状态还要枚举当前行状态，轮廓线方法依次确定一行的每个位置 $i$，并且状压下上一行的 $(i,m]$ 和这一行的 $[1,i]$（轮廓线）作为状态。把一次转移一层改为一次转移一步，做到 $O(2^{m}m)$ 转移。

2. 考虑一类问题的限制需要记录的状态过多，导致难于 DP。例如此题，障碍限制容易处理，但 DP 中处理行和列的限制要求存下之前所有行和列。所以考虑 外部容斥，就是 DP 中去掉部分限制得到结果，在外面枚举满足哪些限制，利用之前结果容斥计算。

3. 在此题中，可以发现假设枚举了某 $r$ 行和某 $c$ 列不能跨过，整个图被分为至多 $(r+1)(c+1)$ 个矩阵内部分别填写，不能跨越矩阵边界。相当于只需要求 $g_{i,j,l,r}$ 表示每个子矩阵内部不考虑行列限制填写的方案数，用它乘法原理计算。需要枚举 $i,l,r$（因为要状压行）后再跑 DP 求出。

4. 但是最后的容斥需要 $O(2^{n+m}nm)$ 复杂度爆炸。考虑 外部容斥 中，我们只需要 去掉部分限制，例如此题 DP 中不能处理的仅是跨越列的限制，跨越行的限制可以利用状压处理。于是考虑改内层为 带容斥系数 DP（为了计算容斥系数，可以加一维状态 $0/1$）。外部只需要枚举哪些列满足限制即可。

5. 也可以考虑不修改内层 DP，而是在中间再套一个 DP。也就是在 枚举了行的限制的前提下 DP 计算列的贡献和，相当于在 $g$ 上做序列分段 DP（带容斥系数）。