2023.10.12 祭品圣遗物

A. 异或

矩阵中 下三角阵加法 的 Trick：考虑 横向、纵向、对角线方向分别差分，然后分别按照对应方向求前缀和再相加得到一个位置的实际值。

B. 游戏

给定一个大小为 $n$ 的整数集合，A 和 B 轮流操作共 $m$ 轮。第 $i$ 轮有一个参数 $b_i$ 表示此次操作要么从集合删除 $b_i$ 的倍数，要么删除非 $b_i$ 的倍数的数。最终剩下的数字和即为权值，A 希望最大化权值，B 则反之，求各自最优行动后的结果。$n\le 2\times {10}^5,m\le 2\times {10}^4$。

把操作看成 01 序列，朴素做法是所有 $2^n$ 种方案，这时会发现绝大多数方案都只会剩下 $0$ 个数。实际上，

断言：所有方案剩下的数之和仅为 $n$。

这是因为从 $1$ 到 $m$ 考虑每次两种操作，分别得到原集合的两个互不相交的子集。相当于从根出发 DFS 一个深度为 $m$ 的 01Trie 并分割一个集合到儿子，最后自底向上合并答案（根据深度从两个儿子的答案中取 $min$ 或者 $max$，对应当前位置的决策走到哪个儿子）的过程。而绝大多数情况下都有一个儿子对应集合是空的，可以直接剪掉（答案为 $0$），使得树的大小与时间复杂度都达到 $O(nm)$。

进一步发现，若每次都走到对应集合较小的儿子，最多 ${\log }_{2}n$ 次就能达到空集即答案为 $0$；考虑到轮流操作，最多 $2{\log }_{2}n+1$ 次双方就一定都能取到答案 $0$。因此当 $m>2{\log }_{2}n$ 时答案一定为 $0$。阈值分治一下，复杂度来到 $O(n\log n)$。

C. 连通块

考虑一无向图，给定各点点权，任意点权 $gcd$ 为合数的两点间有连边，最小化删去一个点后的最大连通块大小。$n\le {10}^5$，值域为 ${10}^7$。

这个询问显然是 Tarjan 求出所有割点，在圆方树上统计。只需考虑优化建图。

注意：Tarjan 考察的是连通性问题，因此只要保证原图中的每个点对，连通性在优化后图中不变即可。套路地 $d|gcd(i,j)\Rightarrow d|i,d|j$，因此只需要找到 没有更小合数因子 的合数，建立 虚点 连接所有出现过的倍数，虚点 $siz$ 为 $0$。

线性筛求出所有质数。可见满足条件的合数的恰好是两个（可重）质数相乘。对每个点权值分解质因数后两两相乘，可知其有最多 $O(lo{g}^{2}V)$ 个这样的合数因子，于是总边数 $O(n{\log }^{2}V)$。

D. 公交路线

考虑一棵树，点有颜色，$q$ 次询问，第 $i$ 次求不允许以 $u_i$ 为端点的前提下，树上选出自身两端点同色的两条不相交路径的本质不同方案数。

相当于要求 $h_u$ 表示有以 $u$ 为一端点的方案数。则询问答案为 ${\displaystyle \frac{\sum _{v\ne u_i}{h}_{u_i}}{2}}$。