数字图像处理（图像增强）——拉普拉斯算子

二阶微分

与微积分中定义的微分略有不同，数字图像中处理的是离散的值，因此对于一维函数的一阶微分的基本定义是差值：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) - f(x)$$

类似的，二阶微分定义为：

$$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2} = f(x+1) + f(x-1) - 2f(x)$$

将一维函数扩展到二维：

$$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2} = f(x+1， y) + f(x-1, y) - 2f(x, y)$$

$$\frac{\partial ^2f}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y - 1) - 2f(x, y)$$

二阶微分的定义保证了以下几点：

1. 在恒定灰度区域的微分值为0
2. 在灰度台阶或斜坡的起点处微分值非零

可以看出，二阶微分可以检测出图像的边缘、增强细节

拉普拉斯算子

希望构造一种各向同性滤波器，这种滤波器的响应与滤波器作用的图像的突变方向无关。
最简单的各向同性微分算子是拉普拉斯算子。一个二维图像函数$f(x, y)$ 定义为：

$$\bigtriangledown^2 f = \frac{\partial ^2f}{\partial x^2 } + \frac{\partial ^2f}{\partial y^2} = f(x+1， y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y - 1) - 4f(x, y)$$

实现上式的滤波器模板为：

0	1	0
1	-4	1
0	1	0

扩展的拉普拉斯算子

对角线方向上也可以类似组成，

1	1	1
1	-8	1
1	1	1

## 使用拉普拉斯算子增强图像

由于拉普拉斯算子是一种微分算子，因此强调的是图像中灰度的突变，并不强调灰度缓慢变化的区域。这将产生把浅灰色边线和突变点叠加到暗色背景中的图像。将原图像和拉普拉斯图像叠加在一起的简单方法，可以复原背景特性并保持拉普拉斯锐化处理的效果。

$$g(x, y) = f(x,, y) + c[\bigtriangledown^2 f(x, y)]$$

python 实现

def laplace2(img, sx = 1.0):
    row = numpy.zeros((1, img.shape[1]))
    img = numpy.row_stack((row, img, row))
    
    col = numpy.zeros((img.shape[0], 1))
    img = numpy.column_stack((col, img, col))

    g = numpy.array(((1, 1, 1), (1, -8, 1), (1, 1, 1)))
    g = -1 * g

    re = numpy.zeros_like(img)

    for i in range(1, img.shape[0] - 1):
        for j in range(1, img.shape[1] - 1):
            re[i, j] = (img[i-1 : i+2, j-1 : j+2] * g).sum()
    
    re = re[1:-1, 1:-1]

    return re

原图：

拉普拉斯作用后的图：

增强后的图片：