探寻 JavaScript 精度问题

阅读完本文可以了解到 0.1 + 0.2 为什么等于 0.30000000000000004 以及 JavaScript 中最大安全数是如何来的。

十进制小数转为二进制小数方法

拿 173.8125 举例如何将之转化为二进制小数。

①. 针对整数部分 173，采取除 2 取余，逆序排列;

173 / 2 = 86 ... 1
86 / 2 = 43 ... 0
43 / 2 = 21 ... 1   ↑
21 / 2 = 10 ... 1   | 逆序排列
10 / 2 = 5 ... 0    |
5 / 2 = 2 ... 1     |
2 / 2 = 1 ... 0
1 / 2 = 0 ... 1

得整数部分的二进制为 10101101。

②. 针对小数部分 0.8125，采用乘 2 取整，顺序排列;

0.8125 * 2 = 1.625  |
0.625 * 2 = 1.25    | 顺序排列
0.25 * 2 = 0.5      |
0.5 * 2 = 1         ↓

得小数部分的二进制为 1101。

③. 将前面两部的结果相加，结果为 10101101.1101;

小心，二进制小数丢失了精度！

根据上面的知识，将十进制小数 0.1 转为二进制：

0.1 * 2 = 0.2
0.2 * 2 = 0.4 // 注意这里
0.4 * 2 = 0.8
0.8 * 2 = 1.6
0.6 * 2 = 1.2
0.2 * 2 = 0.4 // 注意这里，循环开始
0.4 * 2 = 0.8
0.8 * 2 = 1.6
0.6 * 2 = 1.2
...

可以发现有限十进制小数 0.1 却转化成了无限二进制小数 0.00011001100...，可以看到精度在转化过程中丢失了！

能被转化为有限二进制小数的十进制小数的最后一位必然以 5 结尾(因为只有 0.5 * 2 才能变为整数)。所以十进制中一位小数 0.1 ~ 0.9 当中除了 0.5 之外的值在转化成二进制的过程中都丢失了精度。

推导 0.1 + 0.2 为何等于 0.30000000000000004

在 JavaScript 中所有数值都以 IEEE-754 标准的 64 bit 双精度浮点数进行存储的。先来了解下 IEEE-754 标准下的双精度浮点数。

这幅图很关键，可以从图中看到 IEEE-754 标准下双精度浮点数由三部分组成，分别如下：

sign(符号): 占 1 bit, 表示正负;
exponent(指数): 占 11 bit，表示范围;
mantissa(尾数): 占 52 bit，表示精度，多出的末尾如果是 1 需要进位;

推荐阅读 JavaScript 浮点数陷阱及解法，阅读完该文后可以了解到以下公式的由来。

精度位总共是 53 bit，因为用科学计数法表示，所以首位固定的 1 就没有占用空间。即公式中 (M + 1) 里的 1。另外公式里的 1023 是 2^11 的一半。小于 1023 的用来表示小数，大于 1023 的用来表示整数。

指数可以控制到 2^1024 - 1，而精度最大只达到 2^53 - 1，两者相比可以得出 JavaScript 实际可以精确表示的数字其实很少。

0.1 转化为二进制为 0.0001100110011...，用科学计数法表示为 1.100110011... x 2^(-4)，根据上述公式，S 为 0(1 bit)，E 为 -4 + 1023，对应的二进制为 01111111011(11 bit)，M 为 1001100110011001100110011001100110011001100110011010(52 bit，另外注意末尾的进位)，0.1 的存储示意图如下:

同理，0.2 转化为二进制为 0.001100110011...，用科学计数法表示为 1.100110011... x 2^(-3)，根据上述公式，E 为 -3 + 1023，对应的二进制为 01111111100, M 为 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, 0.2 的存储示意图如下:

0.1 + 0.2 即 2^(-4) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 与 2^(-3) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 之和

// 计算过程
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 相加得
0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110

0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110 转化为十进制就是 0.30000000000000004。验证完成!

JavaScript 的最大安全数是如何来的

根据双精度浮点数的构成，精度位数是 53 bit。安全数的意思是在 -2^53 ~ 2^53 内的整数(不包括边界)与唯一的双精度浮点数互相对应。举个例子比较好理解：

Math.pow(2, 53) === Math.pow(2, 53) + 1 // true

Math.pow(2, 53) 竟然与 Math.pow(2, 53) + 1 相等！这是因为 Math.pow(2, 53) + 1 已经超过了尾数的精度限制(53 bit)，在这个例子中 Math.pow(2, 53) 和 Math.pow(2, 53) + 1 对应了同一个双精度浮点数。所以 Math.pow(2, 53) 就不是安全数了。