欧拉函数

题目

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义

\(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 \(ϕ(N)\)。
若在算数基本定理中，\(N = p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_m^{a_m}\)，则：
\(ϕ(N)\) = \(N \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times … \times \frac{p_m-1}{p_m}\)

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个正整数 \(a_i\)。

输出格式

输出共 \(n\) 行，每行输出一个正整数 \(a_i\) 的欧拉函数。

数据范围

\(1 \le n \le 100\),
\(1 \le a_i \le 2 \times 10^9\)

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

题解

欧拉函数的公式推导

任何一个正整数\(N\)都可以用质数幂的乘积表示出来 \(N = p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_m^{a_m}\)

欧拉函数用来求 在小于或等于\(N\)的正整数中 与\(N\)互质的数的数目

\[ϕ(N) = N \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times … \times \frac{p_m-1}{p_m} \]

利用容斥原理推导该公式

\(ϕ(N)\) = \(N \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times … \times \frac{p_m-1}{p_m}\)

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int T;
int n;

void solve()
{
    cin >> n;
    
    //分解质因数
    int res = n; //欧拉公式里先要乘一个n
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++ )
    {
        if (n % i == 0) //找到质因数
        {
            res = res / i * (i - 1); //套公式 乘上公式里找到的质因数部分
            while (n % i == 0) n /= i; //把该质因数i的倍数从n里除干净
        }
    }
    if (n > 1) //如果还含有一个大于sqrt(n)的质因子(最多一个)
        res = res / n * (n - 1);
        //res *= (n - 1) / n;不能这么写，(n - 1) / n 一定是个小数，一旦出现小数由于int向下取整的特性小数就变成0了
        
    
    cout << res << endl;
    
    return;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> T;
    
    while (T -- )
    {
        solve();
    }
    
    
    return 0;
}

一个细节

for (int i = 2; i <= n / i; i ++ )
    {
        if (n % i == 0) //找到质因数
        {
            res *= (i - 1) / i; //套公式 乘上公式里找到的质因数部分
            while (n % i == 0) n /= i; //把该质因数i的倍数从n里除干净
        }
    }
    if (n > 1) //如果还含有一个大于sqrt(n)的质因子(最多一个)
        res *= (n - 1) / n;

这里的res *= (i - 1) / i;是完全依照公式\(\frac{p_1-1}{p_1}\)的写法，但这样写有一个非常致命的问题，由于int是向0取整的，(i - 1) / i必然是一个小数，那在代码里实际的值是0，就会导致我们的运算结果出错，这里就必须要换一种写法，我们先对res / i就不会出现小数，由于i是质因数res / i得到的必然是一个整数，所以就规避了小数的问题，这种写法与原式等价res = res / i * (i - 1);