洛谷 P1616. 疯狂的采药
疯狂的采药
题目背景
此题为纪念 LiYuxiang 而生。
题目描述
LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
此题和原题的不同点：
\(1\). 每种草药可以无限制地疯狂采摘。
\(2\). 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！
输入格式
输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 \(t\) 和代表山洞里的草药的数目 \(m\)。
第 \(2\) 到第 \((m + 1)\) 行，每行两个整数，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(a_i, b_i\) 分别表示采摘第 \(i\) 种草药的时间和该草药的价值。
输出格式
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例 #1
样例输入 #1
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 #1
140
提示
数据规模与约定
- 对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(m \le 10^3\) 。
- 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq m \le 10^4\)，\(1 \leq t \leq 10^7\)，且 \(1 \leq m \times t \leq 10^7\)，\(1 \leq a_i, b_i \leq 10^4\)。
题解
本题是完全背包问题的变形
先来探讨三个遇到的问题
问题1
遇到 编译器无法编译 的bug
const int N = 1e4 + 10, M = 1e7 + 10;
int v[N], w[N];
int f[N][M];
/tmp/ccSa7ukc.o: In function `main':
a.cpp:(.text+0x9): relocation truncated to fit: R_X86_64_32 against symbol `n' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0xe): relocation truncated to fit: R_X86_64_32 against symbol `m' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0x2a): relocation truncated to fit: R_X86_64_PC32 against symbol `n' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0x73): relocation truncated to fit: R_X86_64_PC32 against symbol `n' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0x89): relocation truncated to fit: R_X86_64_PC32 against symbol `m' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0x1bf): relocation truncated to fit: R_X86_64_PC32 against symbol `n' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
a.cpp:(.text+0x1c5): relocation truncated to fit: R_X86_64_PC32 against symbol `m' defined in .bss section in /tmp/ccSa7ukc.o
/tmp/ccSa7ukc.o: In function `__static_initialization_and_destruction_0(int, int)':
a.cpp:(.text+0x215): relocation truncated to fit: R_X86_64_32 against `.bss'
a.cpp:(.text+0x224): relocation truncated to fit: R_X86_64_32 against `.bss'
collect2: error: ld returned 1 exit status
试了一下把M = 1e7 + 10改成M = 1e4 + 10就不会出现bug了
猜测原因是二维数组没办法开成1e7 + 10那么大
可能是二维矩阵请求空间M*N太大了
一维数组1e7就能开
问题2
把if else判断放在k循环外面
这样写会导致每次k循环的效率很低，j每++一次对于k循环来说只能循环一次 效率低 我们将代码改成这样 提高代码运行效率
k从0开始的原因是我们可以省去if(j < v[i]的判断) 将其直接放在k循环内 当k=0时就直接变成 f[i][j] = f[i - 1][j]可以简化代码
问题3
大坑 答案一定要开成long long
long long f[M];
我们观察题目 时间\(1 <= t <= 10^7\) 草药价值\(1 <= a{i} <= 10^4\) 所以极限情况是\(最大价值=10^{11}\) 会爆int 最后一个数据会WA 很坑 一定要仔细观察题目范围
十年OI一场空 不开longlong见祖宗
问题四
朴素代码会TLE MLE 二维的话数组也开不到题目要求的1e7+10
解决办法 优化成一维
注意！
完全背包的二维状态方程f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
是与01背包不同的f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
因为完全背包状态方程是以在背包容积为j时 选k个 第i个物品 的最大价值来建立的，所以k循环内每次我们要选的是 上次选k-1个物品时的最大价值 和当前选k个物品的最大价值 的 max
与01背包选或不选第i个物品的状态方程完全不同
朴素代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = 1e4 + 10;
int v[N], w[N];
long long f[N][M];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d", &m, &n); //m表示采药时间 n表示草药数量
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
{
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
}
}
}
printf("%lld\n", f[n][m]);
return 0;
}
一维优化代码后与01背包完全一致
但其背后优化思路与其完全不一致
完全背包利用递推式进行优化
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
一维优化代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = 1e7 + 10;
int v[N], w[N];
long long f[M];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d", &m, &n); //m表示采药时间 n表示草药数量
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
printf("%lld\n", f[m]);
return 0;
}
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