338. Counting Bits

仅供自己学习

 

思路：

这道题必须要知道一个知识点，如何进行通过位运算获得 位为1的数量。这个公式是 i&(i-1)，原因是相邻的两个数相差为1，即使在二进制中，也只是最低位有一个1的差距造成其他位的不相同，而其引起的变化相与，除了i为2的次幂的数外，都会存在与为1的情况，用该公式每次相与后都会使二进制位中最低为1的一个位变为0，也就是为1的位的数量只会少1。

 

所以我们只需要对 0~num中的每个数进行 x=x&（x-1）的处理，处理的次数就是有多少为1的位，直到处理后x为0就停止。

代码：

class Solution {
public:
    int countones(int x){
        int ones=0;
        while(x>0){
            x = x&(x-1);
            ++ones;
        }
        return ones;
    }
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> res;
        for(int i=0;i<=num;++i){
            res.push_back(countones(i));，
        }
        return res;
    }
};

 

动态规划的方法：
通过规律，利用最高有效位，用已有的答案进行O（1）的加法计算。

二进制中，当转化为十进制后为2的次幂的数的二进制，只存在一个位为1，而这时候就是我们更新最新有效位的时候。根据公式 res[i]=res[i-highbit]+1，因为每次达到2的次幂的数后，就相当于在前一个位进了1，而后面的位又全归为0，我们可以将后面这些归0的位视为从0又重新开始计数，所以当我们到2的次幂后，我们就会更新highbit，此时i-highbit就会从0开始到达highbit，因为此时原来归0的位又全部为1了，此时又会向新的位进1，然后又开始后面的数归0后，相当于又从0开始计数到highbit。加1的原因是 这个1代表新进位的那个1，就是最高有效位的那个1，相当于我们每次遇到一个2的次幂的数，我们都会重新从0开始一直+1到这个2的次幂的数，然后会再次遇到下一个2的次幂的数，再重复此步骤，于是我们将重复利用以求出来的结果加一即可。

 

代码：

class Solution {
public:
    
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> res(num+1);
        int highbit=0;
        for(int i=0;i<=num;++i){
            if((i&(i-1))==0){
                highbit=i;
            }
            res[i]=res[i-highbit]+1;
        }
        return res;
    }
};

 

还有一个通过最低有效位来解决的方法：

存在规律:当x位偶数时，res[x]=res[x/2]，当x为奇数时，res[x]=res[x/2]+1，这里可以通过两个技巧统一起来

第一个：x/2可等效为x>>1，将x右移一位

第二个：x%2可等效为x&1，将x与1相与，因为二进制只有偶数时最低为才不会为1，所以与1相与就能判断，为奇数则相与最低位为1，偶数则为0.

代码：

class Solution {
public:
    
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> res(num+1);
        
        for(int i=1;i<=num;++i){
            res[i]=res[i>>1]+ (i&1);    
        }
        return res;
    }
};

 

定义最低设置位为二进制中最低的1所在的位。因为x&(X-1)得到的数的为1的位的数量减少1，所以我们直接定位res[i]=res[i&（i-1）]+1即可，对所有0到num的数都进行即可

代码:

class Solution {
public:
    
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> res(num+1);
        for(int i=1;i<=num;++i){
            res[i]=res[i&(i-1)]+ 1;    
        }
        return res;
    }
};

 

上面三种方法都是DP，通过读表来提高运行速度。而DP的一个特点也是读表。