[ARC160D] Mahjong

Solution#

首先判掉 $k\nmid m$ 时显然无解的情况。

然后考虑倒着做，往序列上加，那么有显然的 $dp$，记 $f_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个位置，总共做了 $j$ 次操作的方案数，转移的时候将区间加操作钦定在最后一个位置统计，暴力枚举操作的数量即可转移。

但发现会算重，具体来说，在同一个末位置进行 $k$ 次区间加操作等效于做 $k$ 次单点加。所以我们钦定同一位置只能做最多 $k-1$ 次区间加操作，这样就不会算重了。转移的时候枚举两种操作即可转移，用前缀和优化之类的操作可以优化复杂度，但是复杂度仍然很炸，因为与操作数相关。

考虑到区间加操作有 $k-1$ 的次数限制，而单点加操作没有限制，于是可以把两种操作分开考虑，有 $n-k+1$ 个位置进行区间加，$n$ 个位置进行单电加，相当于限制前者每个数 $<k$，后者随便填，这 $2n-k+1$ 个数的总和为操作数 $\frac{m}{k}$。

枚举 $i$ 个位置一定不合法，其他随便填（可以填 $0$），就可以把 $<k$ 的限制容斥掉，然后用插板法即可。

$$ans=\sum _{i=0}^{n-k+1}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+1}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{m}{k}-ik+2n-k}{2n-k})$$

暴力计算组合数，时间复杂度 $O(n^2\log mod)$。

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Code#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define il inline
#define re register
const int N=2020,mod=998244353;
int n,m,k,ans;
il int read(){
    re int x=0;re char c=getchar(),f=0;
    while(c<'0'||c>'9')f|=(c=='-'),c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
    return f?-x:x;
}
il int Pow(int a,int b){
    re int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod,b>>=1;
    }
    return res;
}
il int C(int n,int m){
    if(n<0||m<0||n<m)return 0;
    re int res=1;
    for(re int i=n;i>n-m;i--)res=res*(i%mod)%mod;
    for(re int i=1;i<=m;i++)res=res*Pow(i,mod-2)%mod;
    return res;
}
signed main(){
    n=read(),m=read(),k=read();
    if(m%k)return puts("0"),0;
    m/=k;
    for(re int i=0;i<=n-k+1;i++)
        ans=(ans+((i&1)?mod-1:1)*C(n-k+1,i)%mod*C(m-i*k+(n<<1)-k,(n<<1)-k))%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}