P9212 「蓬莱人形」

题外话#

• 是图老师推的题捏。

• 第 70 道紫，纪念一下。

• 写这题写了好久啊，都要调崩溃了，终于过了/ll

• 之前一直没尝试过写值域分块，今天第一次写竟然没出锅。

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题意#

给定一个长度为 $n$ $(n\le {10}^5)$ 的序列 $a$ $(1\le a_i\le {10}^5)$，你需要回答 $q$ $(q\le 5\times {10}^5)$ 次询问（非强制在线），每次询问给出参数 $l,r,x,y,m$ $(1\le l\le r\le n,1\le x,y,m\le {10}^5)$，求有多少个 $i\in [l,r]$ 满足 $(a_i+x)\mathrm{mod}m<(a_i+y)\mathrm{mod}m$。

题解#

先考虑转化一下那个不等式，这一步应该不是很难，我的方法是，肯定先把 $x,y$ 都对 $m$ 取模，然后钦定 $x<y$，然后分别以 $x$ 和 $y$ 为断点画出两条以 $\mathrm{mod}m$ 的余数环断开形成的链。此时容易发现，记 $a_i^{\prime }=a_i\mathrm{mod}m$，则有当 $a_i^{\prime }\in [0,m-y)\cup [m-x,m)$ 时，$i$ 满足条件。$x>y$ 的情况交换 $x$ 和 $y$，然后用区间长度减去算出的结果就是答案；$x=y$ 的情况显然无解。

于是问题转化为每次给定一个下标范围 $[l,r]$ 和一个值域范围 $[x,y]$ 以及 $m$，求 $[l,r]$ 中有多少数对 $m$ 取模后的值在范围 $[x,y]$ 中。

这个计数问题的答案显然具有可差分性，所以我们每次在 $r$ 的地方存下这个询问，并给它赋一个正号（$+$），再在 $l-1$ 的地方存下这个询问，并给它赋一个负号（$-$），然后我们只需要用这种方式把询问离线下来从 $1$ 到 $n$ 扫一遍，中途遇到挂了询问的地方就计算 $[1,i]$ 的答案，然后根据 $+/-$ 把贡献丢给对应的询问就行了。

然后考虑怎么维护这个计数。其实挺简单。

取模。直接上根号分治。设值域上限为 $V$。

当 $m\le \sqrt{V}$ 时，我们直接开个桶 $cn{t}_{i,j}$ 表示 $\mathrm{mod}i$ 结果为 $j$ 的数有多少个，每次 $O(\sqrt{V})$ 插入，$O(\sqrt{V})$ 查询即可，则此部分复杂度为 $O(n\sqrt{V}+q\sqrt{V})$。

当 $m>\sqrt{V}$ 时，我们每次把目标值域范围暴力地往上跳，每跳一次上下界同时 $+m$，所以最多跳 $O(\sqrt{V})$ 到顶就可以结束了。于是我们每次要回答有多少个 $i$ 满足 $a_i\in [l,r]$，值域分块即可。因为总共有 $O(q\sqrt{V})$ 次查询和 $O(n)$ 次插入，所以得写一个 $O(\sqrt{V})$ 插入，$O(1)$ 查询的值域分块来平衡复杂度，每次记录块内前缀和、块内后缀和以及块间前缀和即可。此部分复杂度为 $O(n\sqrt{V}+q\sqrt{V})$。

总时间复杂度为 $O(n\sqrt{V}+q\sqrt{V})$，只要不是实现得太烂的都能过。

$\text{Code:}$#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define il inline
#define re register
const int N=1e5+113,M=5e5+113,SQ=370;
int n,m,a[N],L=1,R,cnt[N],ans[M],c[N];
int s[SQ][SQ];
int T,idv[N],vl[N],vr[N],vmax,pre[N],suf[N],sv[N];
struct query{
    int f,x,y,mod,id;
};
vector<query>v[N];
#define pb push_back
il int read(){
    re int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
il void init(){
    for(re int i=1;i<=vmax;i++)idv[i]=(i-1)/T+1;
    for(re int i=1;i<=idv[vmax];i++)
        vl[i]=vr[i-1]+1,vr[i]=i*T;
    vr[idv[vmax]]=vmax;
}
il int Ask(int x,int y,int mod){
    if(x>y)return 0;
    int res=0;
    for(re int i=x;i<=y;i++)res+=s[mod][i];
    return res;
}
il int solve_le(int l,int r,int x,int y,int mod){
    if(mod==1)return 0;
    if(x==y)return 0;
    bool flg=0;
    if(x>y)swap(x,y),flg=1;
    int res=Ask(mod-x,mod-1,mod)+Ask(0,mod-y-1,mod);
    return flg?r-l+1-res:res;
}
il int GetCntV(int l,int r){
    if(idv[l]==idv[r])return (l==vl[idv[l]])?pre[r]:pre[r]-pre[l-1];
    return suf[l]+pre[r]+sv[idv[r]-1]-sv[idv[l]];
}
il int solve_gt(int l,int r,int x,int y,int mod){
    if(mod==1)return 0;
    if(x==y)return 0;
    bool flg=0;
    if(x>y)swap(x,y),flg=1;
    int res=0,now=mod;
    if(x){
        int l1=mod-x,r1=mod-1;
        while(1){
            res+=GetCntV(l1,r1);
            if(r1==vmax)break;
            if(l1+mod>vmax)break;
            l1+=mod,r1+=mod;
            r1=min(r1,vmax);
        }
    }
    int l2=0,r2=mod-y-1;
    while(1){
        res+=GetCntV(l2,r2);
        if(r2==vmax)break;
        if(l2+mod>vmax)break;
        l2+=mod,r2+=mod;
        r2=min(r2,vmax);
    }
    return flg?r-l+1-res:res;
}
il void Add(int x){
    for(re int i=1;i<=T;i++)s[i][x%i]++;
    for(re int i=x;i<=vr[idv[x]];i++)pre[i]++;
    for(re int i=vl[idv[x]];i<=x;i++)suf[i]++;
    for(re int i=idv[x];i<=idv[vmax];i++)sv[i]++;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),vmax=max(vmax,a[i]);
    T=sqrt(vmax);
    for(re int i=1;i<=m;i++){
        int l=read(),r=read(),x=read(),y=read(),mod=read();
        x%=mod,y%=mod;
        if(l>1)v[l-1].pb({-1,x,y,mod,i});
        v[r].pb({1,x,y,mod,i});
    }
    init();
    for(re int i=1;i<=n;i++){
        Add(a[i]);
        for(re query j:v[i]){
            if(j.mod>T)ans[j.id]+=j.f*solve_gt(1,i,j.x,j.y,j.mod);
            else ans[j.id]+=j.f*solve_le(1,i,j.x,j.y,j.mod);
        }
    }
    for(re int i=1;i<=m;i++)cout<<ans[i]<<'\n';
    return 0;
}