CF786C Till I Collapse

题外话#

根分纸张第一次自己做出根分虽然很水，纪念一下。

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$\text{Links}$#

Codeforces

Luogu

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题意#

给定一个长度为 $n$ $(1\le n\le {10}^5)$ 的序列 $a$ $(1\le a_i\le n)$，对于 $k=1,2,3,\dots ,n$，分别求出最小的 $m$，使得存在一种将原序列划分成 $m$ 段的方案，满足每段中不同的数字个数不超过 $k$。

Difficulty：*2400

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题解#

条件是关于不同数字的个数，看起来很奇怪。

要对于 $n$ 个 $k$ 都求解，但是感觉没有什么可以相互“继承”或者“转移”的地方，很奇怪。

但它长得很像二分，也有点像 $dp$，还有点像 $ds$ 题，很奇怪。

这么多神秘的奇怪点，那估计是根分罢（大雾。

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考虑给定一个 $k$ 的时候如何求解。显然双指针 $O(n)$ 扫一遍，每次在满足条件的情况下贪心地尽量扩展区间即可，正确性显然。

考虑发掘一下答案的性质，或者说答案和 $k$ 的取值之间有没有什么联系。于是发现必然有 $m\le \frac{n}{k}$，因为每次尽量扩展区间的话，当前区间至少要有 $k$ 个数才能满足有 $k$ 个不同的数，然后再扩展才可能会变得不合法。

有了这个式子之后做法其实就比较显然了。

设置一个阈值 $T$，对于 $k\le T$，一个一个暴力 $O(n)$ 扫。

对于 $k>T$ 的话，可以发现答案具有单调性，即当 $k$ 不断减小的时候，答案 $m$ 一定是非降的。并且又因为此时答案 $m$ 不会超过 $\frac{n}{T}$，所以我们可以枚举答案 $m$ 的值，二分出它可以作为答案的区间，check 部分可以直接套用前面的 $O(n)$ 做法。

这么看来这题是不是确实挺水的/kuk

时间复杂度为 $O(Tn+\frac{n}{T}n\log n)$，取 $T=\sqrt{n\log n}$ 时候可达到平衡，实测下来也确实比取 $T=\sqrt{n}$ 要快很多，在没开 $O2$ 的情况下，最慢的测试点，前者大约跑了 $1.0s$，后者大约 $1.8s$。

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$\text{Code:}$#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define il inline
#define re register
const int N=100100;
int n,a[N],T,lgn,sq,fnans[N],cnt[N],res;
il int read(){
    re int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
il void Add(int x){
    if(!cnt[x])res++;
    cnt[x]++;
}
il void Del(int x){
    cnt[x]--;
}
il int solve(int k){
    int tot=0,l=1,r=0;
    for(re int i=1;i<=n;i++)cnt[i]=0;
    res=0;
    while(l<=n){
        if(r<n){
            Add(a[++r]);
            if(res>k){
                tot++;
                int tmp=r;
                while(l<=r)Del(a[l++]);
                res=0,l=tmp,r=l-1;
            }
        }
        else{
            tot++;
            break;
        }
    }
    return tot;
}
il bool check(int m,int k){
    return solve(k)<=m;
}
int main(){
    n=read();
    T=sqrt(max(n,n*__lg(n)));
    for(re int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(re int k=1;k<=T;k++)fnans[k]=solve(k);
    int T0=n/T;
    if(n%T)T0++;
    int lst=n+1;
    for(re int m=1;m<=T0;m++){
        int l=1,r=n,mid,ans;
        while(l<=r){
            if(check(m,mid=(l+r)>>1))ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        for(re int i=ans;i<lst;i++)
            if(!fnans[i])fnans[i]=m;
        lst=ans;
    }
    for(re int i=1;i<=n;i++)cout<<fnans[i]<<' ';
    return 0;
}