P1667 数列

原题

区间操作的维护看起来很麻烦，考虑转为点操作的维护。题目中的 $\sum _{i=l}^r{a}_i$ 启发我们用前缀和。那么我们考虑每次操作会对前缀和数组 $s$ 造成怎样的变化。设操作区间为 $[l,r]$，按照题意，会把 $a_{l-1}$ 和 $a_{r+1}$ 加上 $S$，$a_l$ 和 $a_r$ 减去 $S$，那么对于 $s$ 数组的影响即是把 $s_{l-1}$ 加上 $S$，$a_r$ 减去 $S$。

接下来我们考虑 $S$ 的取值，$S=\sum _{i=l}^r{a}_i=s_r-s_{l-1}$，然后我们把这个带过去可得：$s_{l-1}=s_{l-1}+s_r-s_{l-1}=s_r,s_r=s_r-(s_r-s_{l-1})=s_l$。

然后就发现这其实就是交换操作。

接下来考虑，我们的目标是使得序列 $a$ 中所有子段和 $>0$，容易发现这就是让序列 $a$ 中所有数都 $>0$，也就是使前缀和序列 $s$ 单调递增。

所以，我们的问题转化为了：每次操作可选择一对 $l,r(1\le l<r<n)$，然后 $swap(s_l,s_r)$。求使得序列 $s$ 单调递增的最小操作次数。

那这就是个经典问题了，可以用找置换环的方式解决，具体来说，我们记 $s$ 升序排序之后得到的数组为 $s^{\prime }$，记 $po{s}_i$ 表示数 $i$ 在 $s^{\prime }$ 中出现的位置。那么我们每次从一个没有访问过的位置开始搜，不断令 $i=po{s}_{s_i}$，直到找到一个置换环，即 $i$ 已经被访问过了，就退出，并令置换环个数 cnt++。

最终答案就是 $n-1-cnt$。不懂这里的置换环操作以及答案由来的选手可以自行搜索“置换环”进行了解。至于为什么是 $n-1$ 而不是 $n$，是因为我们每次选择的 $r$ 必须 $<n$，所以 $s_n$ 一定是永远都不能参与操作的，直接排除它就好了。

最后的最后，我们来考虑判断无解情况，首先如果 $s$ 中有相等的数的话就一定不能满足“递增”，于是无解，以及如果出现了 $s_i\le 0$ 的话也一定无解，因为如果有 $s_i\le 0$，那么我们把 $s$ 排完序之后一定有 $s_1\le 0$，即 $a_1\le 0$，不满足条件，故无解。

以上这些判断可以合并成：

sort(s+1,s+n);
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        if(s[i]<=s[i-1]){
            puts("-1");
            return 0;
        }

然后这题就做完了。

$\text{Code:}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define il inline
#define re register
const int N=100100;
int n,a[N],s[N],b[N],mx=-1e18;
unordered_map<int,int>mp;
bitset<N>vis;
il int read(){
    re int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
signed main(){
    n=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read(),b[i]=s[i]=s[i-1]+a[i];
    sort(s+1,s+n);
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        if(s[i]<=s[i-1]){
            puts("-1");
            return 0;
        }
    for(re int i=1;i<n;i++)mp[s[i]]=i;
    int cnt=0;
    for(re int i=1;i<n;i++){
        if(vis[i])continue;
        int j=i;
        while(!vis[j]){
            vis[j]=1;
            j=mp[b[j]];
        }
        cnt++;
    }
    cout<<n-1-cnt;
    return 0;
}