ABC 242 F 题解

晚自习。不想做题了，来写篇题解消遣一下（

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题意：挺简洁的，懒得说了。鸽。

刚看到这题的时候没有一点头绪，乱想了状压啥的。但现在看来，其实是因为没有抓住重点。

首先此题有黑白之间的限制，所以大可以考虑其中一种颜色然后再依此确定另一种。这里钦定考虑黑色。然后，相同颜色的棋子无区别，并且行列也是无序的。所以我们其实只关心合法位置的数量，这样想来就显然跟状压没关系了。

因为我们只关心合法位置的数量，所以可以统计黑点占用了多少行、多少列。然后组合计数一下白点的摆放方案就好了。

设 $d{p}_{k,i,j}$ 为摆放 $k$ 个黑点，占用了 $i$ 行、$j$列的方案数。

转移方程：

$$d{p}_{k,i,j}=\frac{(d{p}_{k-1,i-1,j-1}+d{p}_{k-1,i-1,j}+d{p}_{k-1,i,j-1})\times i\times j+d{p}_{k-1,i,j}\times (i\times j-(k-1))}{k}$$

这个转移方程看起来很复杂对吧，其实我告诉你……

它还真有点复杂。

大概就是说，将第 $k$ 个点放进去，新增一行一列。然后对新增的这一行一列与之前 $k-1$ 个点占用的行列分讨一下：

$1.$ 没有重合

$2.$ 只有行重合

$3.$ 只有列重合

$4.$ 行列都重合

来吧，琢磨一下。前三种情况即是上面转移方程的分子的左半部分，$i$ 行、$j$ 列会产生 $i\times j$ 个交点，第 $k$ 个点可以放在这些交点上，所以方案数乘上 $i\times j$。

然后第四种情况，第 $k$ 个点不占用新的行列，也就是说只能放在原来就有的 $i$ 行 $j$ 列上，也是有 $i\times j$ 交点，但是注意一格最多只能放一个点，所以不能和之前放的 $k-1$ 个点重合，所以减去 $k-1$。

(未完待续)(我自己今晚回去也还得琢磨一下)