2021年蓝桥杯A组省赛-回路计数 【状压dp】

题面

分析

单源最短Hamilton路径的状压dp模板题。

$dp[i][j]$表示终点为$j$，经过的点集状态为$i$的方案数。假设状态由$k$转移到$j$。当前计算$dp[i][j]$，那么i->j的方案数等于$i$到达所有与$j$相连且不经过j的k点的方案数，即i->k->j。

因为1与任意数互质，故答案为所有非起点的满状态（全部点可达）之和，即

$$\sum_{i=1}^N dp[(1<<N)-1][i]$$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>

#define ll long long
const int maxn = 21;
ll ans;
bool link[maxn][maxn];
ll dp[1 << maxn][maxn];

ll gcd(ll a, ll b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

void init() {
    for (int i = 0; i < 21; i++)
        for (int j = 0; j < 21; j++)
            if (gcd(i + 1, j + 1) == 1) link[i][j] = link[j][i] = 1;
}

int main() {
    init();
    dp[1][0] = 1;//s->s方案数为1
    for (int state = 0; state < (1 << maxn); state++)
        for (int j = 0; j < maxn; j++)//枚举终点i->k->j
            if (state >> j & 1)
                for (int k = 0; k < maxn; k++)
                    if ((state - (1 << j)) >> k & 1 && link[j][k])
                        dp[state][j] += dp[state - (1 << j)][k];
    for (int i = 1; i < maxn; i++)
        ans += dp[(1 << maxn) - 1][i];
    printf("%lld", ans);
}