[NOIP2014 提高组] 联合权值 dfs+技巧

题意

树上每个结点的权值为$w_i$，若点$i$和点$j$满足：$i$和$j$的最短距离为2，则会产生$w_i * w_j$的联合权值。

求最大联合权值和联合权值之和。

分析

①最大联合权值

对于结点$u$,$u$的叶节点之间一定能产生联合权值。

那么与$u$相连的所有点之间都能产生联合权值。

$u$的最大联合权值就是所有相连点中的最大值*次大值。

总的最大联合权值就是所有结点最大联合权值的最大值。

②联合权值之和

点集$1,2,...,k$产生的联合权值之和为：

$$2\sum_{i,j=1}^kw_{i}w_{j}(i\ne j)$$

$$=(\sum_{i=1}^k w_{i})^2-\sum_{i=1}^k w_{i}^2$$

只需维护和与平方和即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int maxn = 200000 + 10;
const int mod = 10007;
int nxt[maxn << 1], to[maxn << 1], head[maxn << 1], val[maxn << 1], cnt;
int max1[maxn << 1], max2[maxn << 1];//最大值及次大值
int sum[maxn << 1], sum2[maxn << 1];//和及平方和
int Max, Sum;//最大联合权值
int n, x, y;

inline void add(int a, int b) {
    to[++cnt] = b;
    nxt[cnt] = head[a];
    head[a] = cnt;
}

inline void dfs1(int u, int fa) {
    for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        sum[u] = (sum[u] + val[v]) % mod;
        sum2[u] = (sum2[u] + (val[v] * val[v] % mod)) % mod;
        if (v == fa) continue;
        dfs1(v, u);
    }
}

inline void dfs2(int u, int fa) {
    max1[u] = val[fa];
    for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if (v == fa) continue;
        if (val[v] >= max1[u]) max2[u] = max1[u], max1[u] = val[v];
        if (val[v] < max1[u]) {
            if (val[v] > max2[u]) max2[u] = val[v];
        }
        dfs2(v, u);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &val[i]);
    }
    dfs1(1, 0);
    dfs2(1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Sum = (Sum + (sum[i] * sum[i] - sum2[i]) % mod) % mod;
        Max = std::max(Max, (max1[i] * max2[i]));
    }
    printf("%d %d", Max, Sum);
    return 0;
}