洛谷 P5194 [USACO05DEC]Scales S 折半搜索

题目

https://www.luogu.com.cn/problem/P5194

思路

$n \leq 1000$的范围很吓人，但是按照【每个砝码的质量至少等于前面两个砝码的质量的和】的规则，打表可知n在50时总重量就已经超过了$2^{30}$。

于是大胆得出$n \leq 50$

因为数据不下降，于是将n个砝码从中间断开，分别搜索出前后$n/2$个砝码对应组成的总重量方案数$a_{cnt}$和$b_{tot}$。

将$b_{tot}$排序，枚举$a_{cnt}$中的每一个方案，在$b_{tot}$中用寻找第一个小于等于c-a[i]的方案数，不断更新答案即可。

dfs复杂度$O(2^{n/2})$，二分查找复杂度$O(nlogn)$

总复杂度$O(2^{n/2+1}+nlogn)$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

const int maxn = (1 << 25) + 10;
const int maxm = 50;
int a[maxn], b[maxn];//储存两段搜索的方案数
int num[maxm];
int n, c, ans;
int cnt, tot;

void dfs1(int x, int sum, int border) {
    if (sum > c) return;
    if (x > border) {
        a[++cnt] = sum;
        return;
    }
    dfs1(x + 1, sum + num[x], border);
    dfs1(x + 1, sum, border);
}

void dfs2(int x, int sum, int border) {
    if (sum > c) return;
    if (x > border) {
        b[++tot] = sum;
        return;
    }
    dfs2(x + 1, sum + num[x], border);
    dfs2(x + 1, sum, border);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &num[i]);
    dfs1(1, 0, n / 2);
    dfs2(n / 2 + 1, 0, n);
    std::sort(b + 1, b + 1 + tot);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
        int curr = std::upper_bound(b + 1, b + 1 + tot, c - a[i]) - b - 1;
        ans = std::max(ans, a[i] + b[curr]);
    }
    std::cout << ans;
    return 0;
}