①前置知识:
曲线拟合问题:
已知一组二维数据,寻求一个函数(曲线)y=f(x)使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
②线性最小二乘法:
1.1 定义
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法,基本思路是,令:
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+...+amrm(x),
式中:rk(x)为事先选定的一组线性无关的函数;ak为待定系数。
1.2 拟合准则
使yi与f(xi)的距离δi的平方和最小
1.3 系数确认
记
J(a1,...,am)=n∑i=1δ2i=n∑i=1[f(xi)−yi]2,
要使J最小,即令∂J∂aj=0(j=1,...,m),
即:
n∑i=1rj(xi)[m∑k=1akrk(xi)−yi]=0,j=1,...,m,
即:
m∑k=1ak[n∑i=1rj(xi)rk(xi)]=n∑i=1rj(xi)yi,j=1,...,m,
记:
R=⎡⎢
⎢⎣r1(x1)⋯rm(x1)⋮⋮⋮r1(xn)⋯rm(xn)⎤⎥
⎥⎦,
A=[a1,⋯,am]T,Y=[y1,⋯,yn]T,
则方程式可表示为:
RTRA=RTY。
当r1(x),⋯,rm(x)线性无关时,R满秩,RTR可逆,此时有唯一解:
A=(RTR)−1RTY
1.4 实际意义
在空间内,任意两个向量都可以组合成新的向量,我们不妨如下表示:
a1x1+a2x2=b⇔AX=B
对于拟合的向量yi,要使其与目标向量f(xi)距离最小,即满足:
∃k∈N,∀i∈N,|→f(xi)−→yi|≥|→f(xk)−→yk|
在此处,yi=b,f(xi)对应的矩阵为AX,
故要满足距离最小,即使得→b−AX与→b所在平面正交,也就是使→b−AX与→b和→a都正交。
即:
AT(b−A¯x)=0
以下推导与代数推导一致,不作阐述。
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