①代数插值(Algebraic interpolation)
代数插值即多项式插值,所求插值函数为:
pn(x)=a0+a1x+a2x2+.......+anxn
显然,用待定系数法即可推出n+1项
②泰勒差值(Taylor interpolation)
泰勒展开式:
pn(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+......+f(n)(x0)n!(x−x0)n
余项为:
R(n)=f(n+1)(ϵ)(n+1)!(x−x0)n+1
显然,泰勒插值即为0-k阶的导数
但是并非所有多项式均可n阶可导,局限性很大
③拉格朗日差值(Lagrange interpolation )
Q:找出一个n次多项式pn(x),使得pn(xi)=yi(i=1,2,...,n)
基函数
先从二阶多项式研究。
已知x0,x1,y0,y1,求pn(x)=a0+a1x,使得pn(x)过这两个点
显然可求得:
pn(x)=y0+y1−y0x1−x0(x−x0)=x−x1x0−x1y0+x−x0x1−x0y1
x−x1x0−x1和x−x0x1−x0即为p(x)的两个基函数
推广至n阶
pn(x)均可化简为以下形式:
pn(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+......+ln(x)yn
要使得pn(x0)=y0
则:
l0(x0)=1,l1(xi)=0(2≤i≤n)
故可得基函数表:
x |
x0 |
x1 |
... |
xn |
l0(x) |
1 |
0 |
... |
0 |
l1(x) |
0 |
1 |
... |
0 |
M |
M |
M |
M |
M |
ln(x) |
0 |
0 |
... |
1 |
从而,基函数一般形式为:
l0(x)=(x−x1)(x−x2)...(x−xn)(x0−x1)(x0−x2)...(x0−xn)=∏1≤j≤nx−xjx0−xj
l1(x)=(x−x0)(x−x2)...(x−xn)(x1−x0)(x1−x2)...(x1−xn)=∏0≤j≤n,j≠1x−xjx1−xj
...
ln(x)=(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(xn−x0)(xn−x2)...(xn−xn−1)=∏1≤j≤n−1x−xjxn−xj
即:
lk(x)=n∏j=0,j≠kx−xjxk−xj
pn(x)=n∑k=0lk(x)yk
余项为:
Rn(x)=f(n+1)(ϵ)(n+1)!n∏i=0(x−xi)
code:
function y=lagr1(x0,y0,x)
n=length(x0); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
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