数据结构：0/1背包问题

数据结构：0/1背包问题

0/1背包问题

题目描述

　　有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的费用是Ci1，得到 的价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大？

基本思路

　　这是最基础的背包问题，特点是:每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

　　用子问题定义状态:即F [i, v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可 以获得的最大价值。

　　则其状态转移方程便是:

　　　　

 　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

　　“将前i件物品放入一个容量为v的背包中”，这个子问题，若只考虑第i件物品放不放，那么就可以转变为一个只与前i-1件物品相关的问题。

　　　　——如果不放第i件物品，那么问题就转化 为“前i − 1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F [i − 1, v] 

　　　　——如果放第i件物品，那么问题就转换 为前i − 1件物品放入剩下的容量为v − Ci的背包中，此时能获得的最大价值就是F [i − 1, v − Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价 值Wi 。 

 Java题解-DFS

class Solution{
    //物品重量
    private int[] weights={1,2,3,4};
    //物品价值
    private int[] values ={6,5,4,3};
    //背包重量
    private int MaxWeight = 9;
    //物品数量
    private int NumOfItems = 4;
    //答案
    int ans;

    public  int knapsack01DFS(int V,int[] weights, int[] values)
    {
        ans = 0;
        DFS(0,0,0);
        return ans;
    }

    public  void DFS(int s,int cur_v,int cur_w)
    {
        ans = Math.max(cur_v,ans);
        if(s==NumOfItems)
            return;
        for(int i=s;i<weights.length;i++)
        {
            if(cur_w+weights[i]<=MaxWeight)
                DFS(i+1,cur_v+values[i],cur_w+weights[i]);
        }

    }
}

 Java题解-DP

public int knapsack(int W, int N, int[] weights, int[] values) {
    int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        int w = weights[i - 1], v = values[i - 1];
        for (int j = 1; j <= W; j++) {
            if (j >= w) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w] + v);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[N][W];
}