算法：深度优先算法和广度优先算法
算法：深度优先算法和广度优先算法(基于邻接矩阵)
1.写在前面
图的邻接矩阵表示法
图的存储结构有两种：一种是基于二维数组的邻接矩阵表示法、另一种是基于链表的的邻接表。
在邻接矩阵中，可以如下表示顶点和边连接关系：
说明：
将顶点对应为下标，根据横纵坐标将矩阵中的某一位置值设为1，表示两个顶点向联接。
图示表示的是无向图的邻接矩阵，从中我们可以发现它们的分布关于斜对角线对称。
我们在下面将要讨论的是下图的两种遍历方法（基于矩阵的）：
我们已经说明了我们要用到的是邻接矩阵表示法，那么我首先要来构造图：
矩阵图的数据结构如下表示：
#define MaxVnum 50
typedef double AdjMatrix[MaxVnum][MaxVnum]; //表示一个矩阵，用来存储顶点和边连接关系
typedef struct {
int vexnum,arcnum; //顶点的个数，边的个数
AdjMatrix arcs; //图的邻接矩阵
}Graph;
这样我们可以首先来创建上述图，为了方便，我们直接在代码中书写矩阵，而不用每次调试手动输入了
void CreateGraph(Graph &G)
{
G.vexnum=8;
G.arcnum=9;
G.arcs[0][1]=1;
G.arcs[0][2]=1;
G.arcs[1][3]=1;
G.arcs[1][4]=1;
G.arcs[2][5]=1;
G.arcs[2][6]=1;
G.arcs[3][1]=1;
G.arcs[3][7]=1;
G.arcs[3][6]=1;
G.arcs[4][1]=1;
G.arcs[4][7]=1;
G.arcs[5][2]=1;
G.arcs[5][6]=1;
G.arcs[5][5]=1;
G.arcs[6][2]=1;
G.arcs[6][5]=1;
G.arcs[7][3]=1;
G.arcs[7][4]=1;
}
这样我们就已经完成了准备工作，我们可以正式来学习我们的两种遍历方式了。
2.深度优先遍历算法
分析深度优先遍历
从图的某个顶点出发，访问图中的所有顶点，且使每个顶点仅被访问一次。这一过程叫做图的遍历。
深度优先搜索的思想：
①访问顶点v；
②依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；
③若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。
比如：
在这里为了区分已经访问过的节点和没有访问过的节点，我们引入一个一维数组bool visited[MaxVnum]用来表示与下标对应的顶点是否被访问过，
流程：
☐ 首先输出 V1，标记V1的flag=true;
☐ 获得V1的邻接边 [V2 V3],取出V2，标记V2的flag=true;
☐ 获得V2的邻接边[V1 V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V4，标记V4的flag=true;
☐ 获得V4的邻接边[V2 V8],过滤掉已经flag的，取出V8，标记V8的flag=true;
☐ 获得V8的邻接边[V4 V5],过滤掉已经flag的，取出V5，标记V5的flag=true;
☐ 此时发现V5的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（左边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）
☐
☐ 回溯到V1，在前面取出的是V2，现在取出V3，标记V3的flag=true;
☐ 获得V3的邻接边[V1 V6 V7]，过滤掉已经flag的,取出V6，标记V6的flag=true;
☐ 获得V6的邻接边[V3 V7],过滤掉已经flag的,取出V7，标记V7的flag=true;
☐ 此时发现V7的所有邻接边都已经被flag了，所以需要回溯。（右边黑色虚线，回溯到V1，回溯就是下层递归结束往回返）
深度优先搜索的代码
bool visited[MaxVnum];
void DFS(Graph G,int v)
{
visited[v]= true; //从V开始访问，flag它
printf("%d",v); //打印出V
for(int j=0;j<G.vexnum;j++)
if(G.arcs[v][j]==1&&visited[j]== false) //这里可以获得V未访问过的邻接点
DFS(G,j); //递归调用，如果所有节点都被访问过，就回溯，而不再调用这里的DFS
}
void DFSTraverse(Graph G) {
for (int v = 0; v < G.vexnum; v++)
visited[v] = false; //刚开始都没有被访问过
for (int v = 0; v < G.vexnum; ++v)
if (visited[v] == false) //从没有访问过的第一个元素来遍历图
DFS(G, v);
}
3.广度优先搜索算法
分析广度优先遍历
所谓广度，就是一层一层的，向下遍历，层层堵截，还是这幅图，我们如果要是广度优先遍历的话，我们的结果是V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8。
广度优先搜索的思想：
① 访问顶点vi ；
② 访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …wk ；
③ 依次从这些邻接点（在步骤②中访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；
说明：
为实现③，需要保存在步骤②中访问的顶点，而且访问这些顶点的邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。 这里我们就想到了用标准模板库中的queue队列来实现这种先进现出的服务。
老规矩我们还是走一边流程：
说明：
☐将V1加入队列，取出V1，并标记为true(即已经访问)，将其邻接点加进入队列，则 <—[V2 V3]
☐取出V2，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V3 V4 V5]
☐取出V3，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V4 V5 V6 V7]
☐取出V4，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V5 V6 V7 V8]
☐取出V5，并标记为true(即已经访问)，因为其邻接点已经加入队列，则 <—[V6 V7 V8]
☐取出V6，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V7 V8]
☐取出V7，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[V8]
☐取出V8，并标记为true(即已经访问)，将其未访问过的邻接点加进入队列，则 <—[]
广度优先搜索的代码
#include <queue>
using namespace std;
....
void BFSTraverse(Graph G)
{
for (int v=0;v<G.vexnum;v++) //先将其所有顶点都设为未访问状态
visited[v]=false;
queue<int> Q;
for(int v=0;v<G.vexnum;v++)
{
if(visited[v]==false) //若该点没有访问
{
Q.push(v); //将其加入到队列中
visited[v]=true;
while (!Q.empty()) //只要队列不空，遍历就没有结束
{
int t =Q.front(); //取出对头元素
Q.pop();
printf(" %d ",t+1);
for(int j=0;j<G.vexnum;j++) //将其未访问过的邻接点加进入队列
if(G.arcs[t][j]==1&&visited[j]== false)
{
Q.push(j);
visited[j]=true; //在这里要设置true，因为这里该顶点我们已经加入到了队列，为了防止重复加入！
}
}
}
}
}
两种算法的复杂度分析
深度优先
数组表示：查找所有顶点的所有邻接点所需时间为O(n2)，n为顶点数，算法时间复杂度为O(n2)
广度优先
数组表示：查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2)，n为顶点数，算法的时间复杂度为O(n2)
