约瑟夫环问题

一、问题描述

1.1 问题

　　题目描述：

• • （1）编号为[1,2,…,n]的n个人按顺时针方向围坐一圈（一般给定一个数，从1~n）
  • （2）任选一个正整数作为报数上限m，从第一个人开始按顺时针方向从自1开始顺序报数，
  • （3）报到m时停止报数，报m的人出列
  • （4）从上一个出列得人顺时针方向上的下一个人开始重新从1报数
  • （5）如此下去

1.2 提问方式

• （1）输出出队顺序
• （2）输出最后一个出队的编号

二、输出出队顺序

　　实现思想：利用双端队列模拟整个过程。代码如下：

vector<int> getOrder(int n, int k)
{
    deque<int> q;
    //开始将所有数字正确入队，1在队头，n在队尾
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        q.push_back(i);

    //保存出队顺序
    vector<int> ans;

    //报数记录
    int cnt = 0;

    //队列不为空就继续报数
    while (!q.empty())
    {
        cnt++;
        //如果当前报数等于k，就将其出队，并保存在结果中
        if (cnt == k)
        {
            ans.push_back(q.front());
            q.pop_front();
            //重置报数
            cnt = 0;
        }
        else
        {
            //如果当前报数不等于k，将其插队队尾，等待下一轮的报数
            q.push_back(q.front());
            q.pop_front();
        }
    }

    //返回结果
    return ans;
}

 

三、最后出队的数字

　　思路：反向模拟！

　　进行公式推算：由于我们需要求最后一个出队人的编号，而最后一个出队人的编号一定为1，所以我们需要反推，也就是说通过新编号推算得到旧编号！

 

• • 旧编号 --> 新编号：（旧编号 - 报数值）% 旧人数
  • 新编号 --> 旧编号：（新编号 + k）% 旧人数，也就是old_index = (new_index + k) % old_number

 

　　最后，我们经过n-1次的公式计算即可反推得到最后一个出队人的本来的序号！

　　需要注意的是，上述推导的公式必须从0开始才有效，也就是说我们将上述图中所有的值都减去1，最后输出时再加上1即可。

　　代码如下：

int getLastNum(int n, int k)
{
    //新编号，且最后一个人的编号，无论如何都是0。
    int index = 0;

    //i代表上一轮剩余的人数
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        index = (index + k) % i;
    }

    //返回编号
    return index + 1;
}

四、参考文章

http://182.92.190.128/archives/suan-fa-12--yue-se-fu-huan-wen-ti