时间复杂度和空间复杂度
一、时间复杂度
T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
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int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
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sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/
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printf("%d",sum); /*执行一次*/
常数阶:单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度是0(1)。
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int i;
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for(i = 0; i < n; i++){
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/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
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}
线性阶:循环体中的代码须要执行n次(循环体中是单纯的分支结构),其时间复杂度是O(n)。
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int count = 1;
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while (count < n){
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count = count * 2;
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/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
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}
对数阶:由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
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int i, j;
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for(i = 0; i < n; i++){
-
for(j = 0; j < n; j++){
-
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
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} }
平方阶:时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
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int i, j;
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for(i = 1; i < n; i++){
-
for(j = 1; j < n; j++){
-
for(j = 1; j < n; j++){
-
/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
-
}}}
立方阶:时间复杂度为O(n^3)。
过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值,否则哪怕n 只是100,都是噩梦般的运行时间。
最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中,这是一种最重要的需求, 通常, 除非特别指定, 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。指最坏时间复杂度。
二、空间复杂度
算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)= O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
我们在写代码时,完全可以用空间来换取时间,比如说,要判断某某年是不是闰年,你可能会花一点心思写了一个算法,而且由于是一个算法,也就意味着,每次给一个年份,都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是,事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点),然后把所有的年份按下标的数字对应,如果是闰年,此数组项的值就是1,如果不是值为0。这样,所谓的判断某一年是否是闰年,就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时,我们的运算是最小化了,但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。
在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。 从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间。