【信号与系统】z变换

概述

本文是信号与系统相关内容，描述了 \(z\) 变换相关的一些内容

阅读本文之前，需要阅读 ：

《信号与系统-上册》（高等教育出版社，第三版，郑君里，应启珩(héng)，杨为理）
《信号与系统-下册》第七到八章

\(z\) 变换的推荐教程：谁都看得懂的数字信号处理教程（第13讲z变换）
本文仅做回忆笔记用，不适合用于学习。

定义

\(z\) 变换的定义为：

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \]

自变量 \(z\) 是一个复变量，且用极坐标的形式表示，即

\[z=re^{j\omega} \]

其中，\(r\) 是 \(z\) 的幅度，\(\omega\) 是 \(z\) 的角度。

例子

例1、序列 \(\delta[n]\) 的 \(z\) 变换

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]z^{-0}=1\\ \delta[n]\leftrightarrow 1 \]

显然不需要求和是否收敛，因此 \(0<|z|<\infty\) 即为收敛域，只要 \(z\) 是有限值即可。

变式：序列 \(\delta[n+5]\) 的 \(z\) 变换

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n+5]z^{-(-5)}=z^{5}\\ \delta[n+5]\leftrightarrow z^{5} \]

显然不需要求和是否收敛，因此 \(0<|z|<\infty\) 即为收敛域。

综上，有 \(\delta[n+k]\leftrightarrow z^{k}\).

例2、序列 \(u[n]\) 的 \(z\) 变换

\[\begin{aligned} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}\\ &=1+z^{-1}+z^{-2}+...\\ &=\frac{1}{1-z^{-1}}\quad (*) \end{aligned} \\ \]

此处，需要讨论 \((*)\) 式是否存在，这要求 \(|z^{-1}|<1\)，因此，收敛域为 \(|z|>1\)，因此：

\[u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}};\quad |z|>1 \]

变式： 序列 \((-1)^nu[n]\) 的 \(z\) 变换

\[\begin{aligned} X(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nu[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{-n}\\ &=1-z^{-1}+z^{-2}-...\\ &=\frac{1}{1-z^{-2}}-z^{-1}\frac{1}{1-z^{-2}}\quad and\ |z|>1 \end{aligned} \\ (-1)^nu[n]\leftrightarrow \frac{z}{z+1};\quad |z|>1 \]

典型序列的 z 变换

• \(\delta[n+k]\leftrightarrow z^{k};\ 0<|z|<\infty\)

• \(u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}};\ |z|>1\)

• \(a^nu[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}};\ |z|>a\)

• \(R_N[n]\leftrightarrow \frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}};\ 0<|z|<\infty\)

  • \(R_N[n]\) 就是从 \(0\) 到 \(N\) 是 \(1\)，其余全部为 \(0\) 的情形，即 \(R_N[n]=u[n]-u[n-N]\)

• \(nu[n]\leftrightarrow \frac{z}{(z-1)^2};\ |z|>1\)

  • 求和时采用错位相减法。

序列的分类

• 双边序列：定义域 \(-\infty<n<\infty\)
• 右序列：定义域 \(n_0<n<\infty\)
  • 右边序列：定义域 \(0\leqslant n<\infty\)，因果序列
• 左序列：定义域 \(-\infty<n<n_0\)
  • 左边序列：定义域 \(-\infty<n<0\)，非因果序列
• 有限长序列 / 双边序列：定义域 \(n_1 < n < n_1\)

X(z) 的极点和收敛域

使\(X(z)\to \infty\)的\(x\)值称为极点。
求收敛域时：

• 求出\(X(z)\)的极点\(z_p\)
• 对右边序列，收敛域为\(|z|>|z_p|\)；对左边序列，收敛域为\(|z|<|z_p|\)
• 双边序列可以分解为左右边序列之和
• 有限长序列不存在无穷求和的问题，只要满足\(0<|z|<\infty\)即可

z 变换的性质

• 线性性质：\(ax_1(n)+bx_2(n)=aX_1(z)+bX_2(z)\)
  • 注意收敛域会发生变化，需要重新计算。
• 移位性质：\(x(n\pm n_0)\leftrightarrow z^{\pm n_0}X(z)\)
• 尺度变换特性：\(y(n)=a^nx(n),\ Y(z)=X(a^{-1}z)\)
• 微分特性：\(y(n)=nx(n),\ Y(z)=z\frac{dX(z)}{dz}\)
• 共轭特性：\(y(n)=x^*(n),\ Y(z)=X^*(z^*)\)

初值定理和终值定理：
若\(x(n)\)是因果序列，且\(x(n)\leftrightarrow X(z)\)，则：

• \(x(0)=\lim_{z\to\infty}X(z)\)
• \(x(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)X(z)\)

时域卷积定理：\(x_1(n)*x_2(n)=X_1(z)X_2(z)\)

z 逆变换

\[x(n)=2\pi j\oint_c X(z)z^{n-1}dz \]

直接计算过于复杂，下面展示几种常见的求反变换的方法。

留数法

挖坑。

部分分式展开法

挖坑。

幂级数展开法（长除法）

由\(X(z)\)的定义，将其展开为幂级数，有：

\[X(z)=...+x(-n)z^n+...+x(n)z^{-n}+... \]

右边序列的展开式中应包含无数多个\(z\)的负幂项，所以要按降幂长除。
左边序列的展开式中应包含无数多个\(z\)的升幂项，所以要按升幂长除。
对于双边序列，将其分成对应信号的左右两边部分，分别按上述原则长除。