【NOIP2017】小凯的疑惑

本题在洛谷上的链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3951#sub

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简化一下问题，就是对于ax+by=c，求一个最大的c，使得方程不存在非负整数解。

我们设有一组特解(x₀,y₀)，那么根据此类直线方程的性质，则通解可表示为(x₀-kb,y₀+ka)。

显然，存在一组特解(x₁,y₁)，使得0<=x₁<=b-1，我们试图研究那些不存在非负整数解的情况，所以设y₁<=-1。

此时，c=ax₁+by₁<=a(b-1)+b(-1)=ab-a-b，说明所有无非负整数解情况的c必然不超过ab-a-b，但我们还需要证明当c=ab-a-b时无非负整数解。

直接用反证法即可。设c=ab-a-b时有非负整数解，则ax+by=ab-a-b，a(x+1)+b(y+1)=ab。

因为a,b互质，所以有a|y+1，b|x+1，故y+1>=a，x+1>=b，则a(x+1)+b(y+1)>=2ab，显然矛盾，故当c=ab-a-b时无非负整数解。

 

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    cout << a * b - a - b;
    return 0;
}