KMP算法

假如我们需要在一段很长的文本中查找一个单词出现的位置，你会怎么做？朴素的做法是从文本的字母开始，向后和这个单词中的字母一一匹配，若完全匹配则说明找到了一个单词，若有一个字母匹配失败，就紧接着换文本的下一个字母重新匹配，即使成功匹配到一个单词，也要紧接着从下一个字母开始匹配。显然，最坏情况复杂度可以达到O(nm)（n为文本长度，m为要查找的单词长度）。事实上，那段文本我们称为文本串（T），那个单词称为模式串（P），这个问题叫做字符串匹配。

同样的结果，KMP算法却可以做到O(n+m)，因为他避免了许多不必要的比较，比如abababc为文本串，ababc为模式串，一开始我们从头开始匹配，当模式串匹配到c时失配，朴素做法会重新从模式串开头匹配，而KMP算法却不会。为什么呢？只是一个字母失配，在此之前我们已经成功匹配了一些，难道没有用处吗？可能当年KMP算法的提出者也是这样想的。我们可以利用已匹配的字母，设fail数组保存某个字母的前缀（不包括该字母）开头和结尾最长的公共部分长度，一旦失配，我们就可以以此跳到一个合适的位置再去匹配，比如上面的例子，KMP算法就会再从模式串的第三个字母a开始匹配。还有，fail数组可以保存不同的信息，我习惯这样。

下面简述一下如何得到fail数组，我们假设已经得到了fail[i]，那么可以去推出fail[i+1]，若P[i]==P[fail[i]]，fail[i+1]=fail[i]+1；否则，说明fail[i+1]为0。最开始就有fail[0]=fail[1]=0。

得到了fail数组，去匹配文本串也很容易，过程十分相似。我们枚举文本串每个字母T_i，设j表示在模式串中已匹配的长度，若P[j]==T[i]，则++j；否则j=fail[j]。当j==m时，说明成功匹配到了一个。继续进行上述过程就可以找出所有模式串的匹配。

仔细想想，可以知道，代码这样做，字符串下标是从0开始的。

int n, m, fail[maxn]; //n和m是t和p的长度
char t[maxn], p[maxn];
void getfail() {
    fail[0] = fail[1] = 0;
    for (int i = 1; i < m - 1; ++i) {
        int j = fail[i];
        while (j && p[j] != p[i]) j = fail[j];
        fail[i + 1] = p[j] == p[i] ? j + 1 : 0;
    }
}
void kmp() {
    getfail();
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        while (j && p[j] != t[i]) j = fail[j];
        if (p[j] == t[i]) ++j;
        if (j == m) printf("%d\n", i - m + 1);
    }
}