【NOIP2010】乌龟棋

本题在洛谷上的链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1541

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呃呃，确实想不粗来。虽然最近做了好几道DP题，但还是无法保证想得出状态以及状态转移方程。。。不过顺便了解到了DP和贪心的“血缘关系”：如果对于第i个状态，只需第i-1个状态就可以推出第i个状态，对应的推导过程就叫贪心，这种推导过程也是数学上常用的数学归纳法；如果对于第i个状态，仅仅由第i-1个状态无法推出，而需要综合考虑前i-1个状态才能推出，对应的推导过程就叫动态规划，这种方法也叫第二数学归纳法。

好了，言归正传，我们可以定义状态dp[i][j][k][l]表示这四种卡片的使用数量（状态的得出可以参考数据范围的提示：只有四种卡牌，每种数量不超过40），那么dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k][l],dp[i][j-1][k][l],dp[i][j][k-1][l],dp[i][j][k][l-1])+a[1+i+2*j+3*k+4*l]，特别的，dp[0][0][0][0]=a[1]，一张都不使用时，棋子处于起点，也有相应分数。具体细节详见代码。

#include<cstdio>
inline int max(int a,int b) {return a>b?a:b;}
const int maxn=355,maxm=125,maxe=45;
int n,m,a[maxn],b,num[5],dp[maxe][maxe][maxe][maxe],ans;
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i) {scanf("%d",&b);++num[b];}
    dp[0][0][0][0]=a[1];
    for(int i=0;i<=num[1];++i)
        for(int j=0;j<=num[2];++j)
            for(int k=0;k<=num[3];++k)
                for(int l=0;l<=num[4];++l) {
                    int to=i+2*j+3*k+4*l+1;
                    if(i>0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i-1][j][k][l]+a[to]);
                    if(j>0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j-1][k][l]+a[to]);
                    if(k>0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j][k-1][l]+a[to]);
                    if(l>0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j][k][l-1]+a[to]);
                }
    printf("%d",dp[num[1]][num[2]][num[3]][num[4]]);
    return 0;
}