差分约束系统

差分约束系统是求解不等式组的一种算法，其实就是将不等关系转化为图中的边，然后通过求最短/长路求解不等式组解的边界。

其中不等式应形如y-x<=k，然后利用最短/长路中的三角不等式建边。以最短路为例，假如我们求出了一张图中所有点到源点的最短路，若存在边<x,y>，其边权为k，那么必有dist[x]<=dist[y]+k。这是显然的，因为是最短路，假如dist[x]>dist[y]+k，那么边<x,y>就可以使得dist[x]更小。

注意上面提到的源点，我们一般还需要建一个超级源0，他到其他结点均有边，且边权为0。

如此跑最短路，解应该是非正的，跑最长路，解是非负的。其实将y-x<=k转化为x>=y+(-k)，然后建一条边<y,x>，边权为-k，跑最长路效果是一样的。

不过往往，求最大值用最短路，求最小值用最长路。

不等式组可能无解，若图中出现了负环（最长路是正环），则无解。因为会有负边权和负环，所以差分约束系统一般选择SPFA算法。

 

附一道例题，BZOJ2330：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2330