单调队列

单调队列是指在任意时刻，队列中的元素都是单调的（递增或递减），同时他又具有双端队列的部分性质（允许从队尾删除元素）。

在这里，有一道经典的例题：滑动窗口求最值

题目描述：在一个长度为n的整数序列上有一个长度为k的滑动窗口，求滑动窗口内的最（大/小）值。

解释：就是在一个序列上对于每个长度为k的区间，求区间内的最值。

分析：一种朴素的做法是，枚举区间起点，再自此向后比较k个元素，找出最值，这样的复杂度是O(nk)的。

还有一种不错的做法是利用单调队列。不妨假设我们已经得到了一个单调队列，他维护了当前的滑动窗口，显然，

队首元素就是窗口内的最值。现在再来考虑如何用单调队列维护滑动窗口（以最大值为例，队列则为单调递减的，队首元素为窗口内的最大值）：

我们遍历序列的每个元素，当队列为空时，肯定要加入队列；队列不为空，就要先从队尾弹出较小的元素，再加入，保证队列单调（这里有一个有趣的类比，如果一位OIer比你年轻还比你强，那你就没法超越他了）；但滑动窗口是有长度限制的，怎么考虑呢？我们可以保存每个元素的序号，当发现队首元素的序号与当前考虑元素相比，已经出了滑动窗口，就弹出队首元素。

因为每个元素都只会进入队列一次且只会离开队列一次，可以认为时间复杂度是O(n)的。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <deque>

using namespace std;

struct num { //定义结构体存储元素的序号及值
    int id, value;

    num(int i, int v) : id(i), value(v) {}
};

int n, k, a[10005], first = 1;

deque<num> dq;

int main() {
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        if (dq.empty()) dq.push_back(num(i, a[i]));
        //若队列为空，则直接进入队列
        else {
            num f = dq.front(); //取队首元素
            if (i > f.id + k - 1) dq.pop_front();
            //若队首元素的序号距当前元素太远（超出窗口长度）则弹出队首元素
            num b = dq.back(); //取队尾元素
            while (b.value < a[i]) { //若队尾元素小于当前元素则弹出队尾
                dq.pop_back();
                if (dq.empty()) break; //注意！队列为空则不能继续弹出
                b = dq.back();
            }
            dq.push_back(num(i, a[i])); //将当前元素放入队列中合适位置
        }
        if (i >= k) { //当考虑的元素个数达到窗口长度时，开始输出
            if (first) first = 0;
            else printf("\n");
            num f = dq.front();
            printf("第%d个滑动窗口的最大值为%d", i-k+1, f.value);
        } //事实上，对于长度为n的序列，长度为k的窗口，共有n-k+1个不同的窗口
    }
    return 0;
}