64位整数乘法
//总结自李煜东著《算法竞赛进阶指南》
问题：求a乘b对p取模的值，其中1<=a,b,p<=10^18。
简单的暴力相乘显然会溢出（相当于对64位整数最大值+1取模），对a进行b次累加显然会超时。
法一：
仿照快速幂，用二进制表示b。
1 typedef long long ll; 2 3 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) { 4 a %= p, b %= p; 5 ll ans = 0; 6 while (b) { 7 if (b & 1) ans = (ans + a) % p; 8 a = a * 2 % p, b >>= 1; 9 } 10 return ans; 11 }
法二：
利用a*b%p=a*b-floor(a*b/p)*p求解，其中floor函数表示向下取整。
1 typedef long long ll; 2 3 inline ll mul(ll a, ll b, ll p) { 4 a %= p, b %= p; 5 ll c = (long double)a * b / p; 6 ll ans = a * b - c * p; 7 if (ans < 0) ans += p; 8 else if (ans >= p) ans -= p; 9 return ans; 10 }
值得一提的是，尽管a*b和c*p可能溢出，但这并不影响，因为a*b-c*p一般不会超过p-1，我们只关心他们的低位。
