数论小结1.

从白书上面的习题开始版切....但是发现时间不够了....

今天粗略的做了不少题目.....但是有些题目感觉实在是比较诡异.......感觉考的话也不太可能...不过还是写下来吧.

　　1.Uva 10673

　　　　已知x, k, 求 x = p * floor(x / k) + q * ceil(x / k).的解.

　　　　思路:

　　　　　　其实分类讨论就 ok 了. 当 x % k == 0 时, 取 p = x * k, q = 0;

　　　　　　否则, floor 与 ceil 相差 1. 怎么做? 你懂得.　　

　　2. Uva 11768　　

　　　　求 AB 线段上的整点的个数...(坐标为 0.1 的倍数.)

　　　　思路:

　　　　标准做法和我一开始想的暴力搞法是一样的.....

　　　　暴跳直到跳到整点为止.......(感觉非常的不科学.)

　　　　然后,我们就直接 gcd 就 ok 了.(为什么网上的人的代码都那么长一个个?)

　　3. Uva 11728

　　　　求一个最大的数N, 使得这个数的因子之和为S (S <= 1000)

　　　　思路:

　　　　　　呵呵, NOIP的暴力题.S <= 1000所以N <= 1000....O(N^2)可做.

　　4. Uva 10692

　　　　求 a1 ^ a2 ^ a3 ^ a4 ... ^ an % m 的值.(n <= 10)

　　　　思路:

　　　　这个才是数论的题目....

　　　　这个方法的证明我看不懂....数学蒟蒻...

　　　　不过结论是这样的. a ^ x = a ^ (x % m + m) (mod m).

　　　　这个问题显然是可递归的, 加上快速幂就 ok 了.

　　5. Uva 01426

　　　　已知一个数的一个离散平方根, 求一个数所有的离散平方根. 定义为: r ^ 2 = x (mod n) 则 r 为 x 在 模 n 意义下的离散平方根.

　　　　思路:

　　　　这个是好题, 

　　　　已知的平方根的 r1, 未知的为 r2.

　　　　则:

　　　　　　r1 ^ 2 = x + k1 * n.

　　　　　　r2 ^ 2 = x + k2 * n.

　　　　两式相减:

　　　　　　r1 ^ 2 - r2 ^ 2 = (k1 - k2) * n

　　　　整理得:

　　　　　　(r1 + r2) * (r1 - r2) = k3 * n.

　　　　如果令 A * B  = n (非常的精妙!)

　　　　则 r1 + r2 = 0 (mod A) && r1 - r2 = 0 (mod B) ¹

　　　　或 r1 - r2 = 0 (mod A) && r1 + r2 = 0 (mod B)　

　　　　我们先讨论 ¹ 式．

　　　　两式相加, 得到 2 * r1 = p * A (mod B).

　　　　也即: p * A = 2 * r1 (mod B).

　　　　显然这个东西是能够用 exgcd 求出所有的解的.

　　　　　　对于 exgcd 求出的是满足 p * A + q * B = gcd(A, B).

　　　　的解.

　　　　　　令 d = gcd(A,B), 显然, 如果 2 * r1 % d != 0 方程是无解的.

　　　　　　否则这个方程的第一个可行解就是 p = x0 * (2 * r1) / d.(x0 是 exgcd 求出来的解.)

　　　　　　带回 ¹ 即可求得另外一个解.

　　　　　　参见线性模方程的通解表达式. x = x0 + i * (B / d). 那么 p = ( x0 + i * (B / d) ) * (2 * r1) / d.

　　　　　　分析一下复杂度, 因为线性模方程的解的个数为 O(gcd(A,B)) 个, 所以 极限情况下是 sqrt(N) 的.

　　　　用 set 哈希一下就 ok 了.

　　6. Uva 01415

　　　　　　问一个数是否是高斯素数, 高斯素数的定义即是这个数不能被分解成两个高斯整数的乘积...

　　　　　　关于高斯整数的定义: 参见 Wikipedia.

　　　　思路:

　　　　　　我觉得这个道题简直就是在乱搞,尤其是样例解释都不太符合高斯整数的定义?

 

　　　　　　唯一的收获就是费马平方和定理.... 一个奇质数能被拆分成两个数的平法和的充要条件是 p % 4 = 1.

　　　　　　为什么不是偶质数? 呵呵, 因为偶质数只有2........

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