线性规划中的单纯形法与内点法（原理、步骤以及matlab实现）（二）

在线性规划中的单纯形法与内点法（原理、步骤以及matlab实现）（一）中，我们讨论了单纯形法的原理和普通单纯形法的应用，本文接着讨论大M法、两阶段法和对偶单纯形法

2.2 Big M Method （大M法）

通常，我们遇到的问题约束条件不是像普通单纯形法中的形式，就是说有可能会符号为大于等于形式的不等式，这时，初始可行基的选择就不是那么容易了。这种情况下，我们可以利用大M法。下面举例说明应用

 

solution

通过引入slack或者surplus将不等式约束转为等式约束，并且将最小化问题转为最大化问题

 

在这个形式中，初始可行基不是很容易选出，因为s1和s3的系数都是-1。这时我们可以引入额外的两个人工变量A1和A2，原问题转为：

在目标函数中还引入了新的系数M，M是一个极大的数，因此要使得目标函数的值最大，A1和A2必须为0

 

matlab实现

linprog():

记住：该函数的问题形式必须是最小化形式，并且右端值符号没有限制，但是不等号必须是小于等于

f = [4 3];
A = [-2 -1; -3 2; -1 -1];
b = [-10 6 -6];
[x, fval] = linprog(f, A, b)

 

revised():

c = [4 3];
A = [2 1; -3 2; 1 1];
b = [10 6 6];
inq = [1 -1 1];
revised(c, b, A, inq, 1)

运行结果： 

2.3 Two-phase Method(两阶段法)

先来看一下大M法和两阶段法的联系和区别：

 

两阶段法中第一阶段构造了一个只有人工变量的新的目标函数，使得引入的人工变量为零。第二阶段使用第一阶段迭代的tableau继续迭代。可以看到其实大M法和两阶段法本质没有区别，只是将两步糅合成为一步。下面举例说明两阶段法的应用：

这道题可以用大M法解决，不过这里使用两阶段法

第一阶段，引入新的人工变量，并且构造新的目标函数（使人工变量为零）

到这里，人工变量已经成为非基变量，即取零使得构造的目标函数值最优

进入第二阶段

这阶段的主要工作是：

1.使用原来的目标函数

2.初始开始迭代的基可行解是沿用上一阶段最后的迭代结果

 

下面开始迭代：

 

感兴趣的朋友可以用大M法解答

matlab实现：

linprog():

 

f = [-5 -8];
A = [-3 -2; -1 -4; 1 1];
b = [-3 -4 5];
lb = [0 0];
[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb)

 

 运行结果：

revised():

c = [5 8];
A = [3 2; 1 4; 1 1];
b = [3 4 5];
inq = [1 11 -1];
revised(c, b, A, inq, 0)

运行结果：