POJ 3696 The Luckiest number

欧拉定理的应用

一个小技巧,连续 \(x\) 个 \(8\) 组成的数可以表示为 \(8 *(10^x - 1) /9\)
题目要求就变成了求满足 \(L \mid 8 * (10^x - 1) /9\)的最小的x
将原式整理可得:

\[L*9/gcd(L, 8) \mid 10 ^ x -1 \]

设 \(p = L * 9/gcd(L,8)\)
原式可化为: \(10^x \equiv 1 \pmod p\)
引理:
满足上式的最小的 \(x\) 是\(\varphi( p)\)的约数
可用数学归纳法证明,即设 \(p = x * k + r\)证明
枚举\(\varphi (p)\)的约数,用快速幂验证即可
]注意本题的数据范围很大,有时会出现两个long long 相乘,所以要用慢速乘

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long 
using namespace std;
ll num[75000], tot;
ll gcd(ll a, ll b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll phi(ll n) {
	ll ans = n;
	for(ll i = 2 ; i * i<= n ; i++) {
		if(n % i == 0) {
			ans = ans / i * (i - 1);
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) ans = ans /n * (n - 1);
	return ans;
}
ll mul(ll a, ll b, ll p){
	ll ans = 0ll;
	while(b) {
		if(b & 1ll) (ans +=  a) %= p;
		(a += a) %= p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll quick_mod(ll a, ll n, ll p) {
	ll ans = 1ll;
	while(n) {
		if(n & 1ll) ans = mul(ans, a, p);
		a = mul(a, a, p);
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll work(ll n, ll p) {
	//ll ans = 0x3f7f7f7f7f7f7f7f;
	tot = 0;
	for(ll i = 1ll ; i * i <= n ; i++) {
		if(n % i == 0){
			if(quick_mod(10, i, p) == 1ll) return i;
			if((n / i) != i) {
				num[++tot] = n / i;
			}
		}
	}
	for(int i = tot; i >= 1; i--) {
		if(quick_mod(10, num[i], p) == 1ll) return num[i];
	}
	return n;
}
int main() {
	for(int k = 1 ;  ; k++) {
		ll n ;
		cin>>n;
		if(!n) break;
		ll d = gcd(n, 8ll);
		ll t = 9 * n / d;
		if(gcd(t, 10) != 1) {printf("Case %d: 0\n", k);}
		else printf("Case %d: %lld\n", k, work(phi(t), t));
	}
	return 0;
}