洛谷 [T21776] 子序列
题目描述
你有一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\) ，这个数列由 \(0,1\) 组成，进行 \(m\) 个的操作：
\(1\ l\ r\) ：把数列区间$ [l,r]$ 内的所有数取反。即 \(0\) 变成 \(1\) ，\(1\) 变成 \(0\) 。
\(2\ l\ r\) ：询问数列在区间 \([l, r]\) 内共有多少个本质不同的子序列。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数 \(n,m\)，意义如上所述。
接下来一行包含 \(n\) 个数，表示数列 \(\{a_n\}\) 。
接下来 \(m\) 行，每行包含三个数，表示一个操作，操作格式如上所述。
输出格式：
对于每个询问，输出答案模 \(10^{9}+7\) 的结果。
思路
前置技能：
维护一个长度为 \(n\) 的 \(3*3\) 的 \(0/1\) 矩阵序列
-
交换区间 \([l,r]\) 中所有矩阵的第一行和第二行
-
查询区间 \([l,r]\) 中所有矩阵从左到右乘起来的结果
对于能快速合并的信息我们都可以用线段树来维护
比如和，积，最值， 矩阵乘法， bitset， hash值，线性基
还需要一个矩阵的结论：
对于 3*3 的 0/1 矩阵来说 两矩阵的第一二行交换，他们的乘积的第一二行也交换
所以可以对于交换的区间打 tag，用线段树维护
本题思路
考虑本质不同的子序列怎么求：
设 f(i,0) 表示i号位置以前的以0结尾的本质不同的子序列数目
设 f(i,1) 表示i号位置以前的以1结尾的本质不同的子序列数目
转移方程 ：
如果 i 号位置是 0 ，\(f(i,0) = f(i-1,0) + f(i-1,1) + 1 ; f(i, 1) = f(i-1, 1)\)
如果 i 号位置是 1 ，\(f(i,1) = f(i-1,0) + f(i-1,1) + 1 ; f(i, 0) = f(i-1, 0)\)
用矩阵加速，可得：
观察矩阵可得，对区间内序列取反，可以转化为把矩阵的前两行，前两列交换
可用线段树来维护
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define lson l, mid, rt<<1
#define rson mid+1, r, rt<<1|1
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int init() {
int rv = 0, fh = 1;
char c = getchar();
while(c <'0' || c > '9') {
if(c == '-') fh = -1;
c=getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9') {
rv=(rv<<1) + (rv<<3) + c- '0';
c = getchar();
}
return fh * rv;
}
const int MAXN=100005;
struct Matrix{
ll num[3][3];
int col;
Matrix() {
col = 0;
memset(num,0,sizeof(num));
}
void build(bool f){
col=3;
if(f) {
num[0][0] = num[0][1] = num[1][1] = num[2][1] = num[2][2] = 1;
}else {
num[0][0] = num[1][0] = num[2][0] = num[1][1] = num[2][2] = 1;
}
}
Matrix operator * (const Matrix &a) {
Matrix ans;
ans.col = col;
for(int i = 0 ; i < col ; i++) {
for(int j = 0 ; j < 3 ; j++) {
for(int k = 0 ; k < 3 ; k++) {
(ans.num[i][j] += num[i][k] * a.num[k][j]) %= MOD;
}
}
}
return ans;
}
void reserve() {
for(int i = 0 ; i < 3 ; i++) {
swap(num[0][i],num[1][i]);
}
for(int i = 0 ; i <3 ; i++) {
swap(num[i][0], num[i][1]);
}
}
void print() {
for(int i = 0 ; i<=col ;i++) {
for(int j = 0 ; j < 3 ; j++) {
printf("%d ",num[i][j]);
}
cout<<endl;
}
}
};
struct SGT{
Matrix sum[MAXN<<2];
bool tag[MAXN<<2];
void PushUp(int rt) {
sum[rt] = sum[rt<<1] * sum[rt<<1|1];
}
void build(int l, int r,int rt) {
if(l==r) {
bool f=init();
sum[rt].build(f);
return;
}
int mid = (l + r) >>1;
build(lson);
build(rson);
PushUp(rt);
}
void PushDown(int rt) {
if(tag[rt]) {
tag[rt<<1] = !tag[rt<<1] ;
tag[rt<<1|1] = !tag[rt<<1|1];
sum[rt<<1].reserve();
sum[rt<<1|1].reserve();
tag[rt]=0;
}
}
void Update(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
tag[rt]=!tag[rt];
sum[rt].reserve();
return;
}
PushDown(rt);
int mid = (l + r) >>1;
if(L <= mid) Update(L, R, lson);
if(mid < R) Update(L, R, rson);
PushUp(rt);
}
Matrix Query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
PushDown(rt);
int mid = (l + r) >>1;
Matrix ans;
ans.col = 3;
ans.num[0][0] = ans.num[1][1] = ans.num[2][2] = 1;//ans.print();
if(L <= mid) ans = ans * Query(L, R, lson);
if(mid < R) ans = ans * Query(L, R, rson);
PushUp(rt);
return ans;
}
}sgt;
int n,m;
int main() {
freopen("in.txt", "r", stdin);
n=init();m=init();
sgt.build(1,n,1);
for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
int t = init(), l = init(), r = init();
if(t == 1) {
sgt.Update(l, r, 1, n, 1);
}else {
Matrix ans;
ans.col = 1;ans.num[0][2] = 1;
ans = ans * sgt.Query(l, r, 1, n, 1);
//sgt.Query(l, r, 1, n, 1).print();
printf("%lld\n",(ans.num[0][0] + ans.num[0][1])%MOD);
}
}
fclose(stdin);
return 0;
}
