从分治乘法到快速沃尔什变换及其反演

为了方便本文的叙述，先定义如下内容：

设\(a\)，\(b\)为两个序列，那么：

\((a,b)\)表示将\(a\)和\(b\)简单地拼接在一起组成的序列。

设\(f\)是一个\(n\)维集合幂级数（\(n>0\)），那么：

\(f^-\)表示取所有下标的最高位为\(0\)的项，并忽略最高位而组成的一个\(n-1\)维集合幂级数（其实就是\(f\)的前半段）。

类似的，\(f^+\)表示取所有下标的最高位为\(1\)的项，并忽略最高位而组成的一个\(n-1\)维集合幂级数。（其实就是\(f\)的后半段）。

用\(\cdot\)代表点积，其形式为：

\[(f\cdot g)_i=f_i\cdot g_i \]

用\(*\)代表卷积，其形式为：

\[(f*g)_i=\sum_{j\circ k=i}f_j\cdot g_k \]

其中下标运算\(\circ\)会在上下文给出（或者是普遍情况，不做要求）。

我们先考虑如何用分治乘法解决常见的集合幂级数的卷积。

我们考虑将待卷积的集合幂级数\(f\)和\(g\)拆分成\((f^-,f^+)\)和\((g^-,g^+)\)，那么：

\[f*g=(f^-,f^+)*(g^-,g^+) \]

显然我们可以选择一种位运算，根据这种位运算将\(f^-*g^-\)，\(f^-*g^+\)，\(f^+*g^-\)，\(f^+*g^+\)的贡献计算给\((f*g)^-\)和\((f*g)^+\)中的某一个。

对于集合并卷积，计算贡献的式子就是：

\[f*g=(f^-*g^-,f^-*g^++f^+*g^-+f^+*g^+) \]

显然四个新的卷积可以直接递归计算，那么递归式便为：

\[T(n)=4T(n-1)+O(2^n) \]

解得\(T(n)=O(4^n)\)，直接做并没有什么用。我们来考虑减少递归的次数，我们发现：

\[f^-*g^++f^+*g^-+f^+*g^+=(f^-*g^++f^+*g^-+f^+*g^+)+f^-*g^--f^-*g^- \]

显然等式右边的前四项是可以合并的，也就是：

\(f^-*g^++f^+*g^-+f^+*g^+=(f^-+f^+)*(g^-+g^+)-f^-*g^-\)

后面一项之前已经计算过，可以重复利用，只要多算一项即可。因此递归式为：

\[T(n)=2T(n-1)+O(2^n) \]

解得\(T(n)=O(2^nn)\)，复杂度非常优秀。

现在我们来尝试从分治乘法推出其快速沃尔什变换的形式。

考虑之前推出的式子，我们对于集合幂级数\(f\)，我们只需要保留\(f^-\)和\(f^-+f^+\)即可直接递归计算其集合并卷积。那么我们不妨先定义一个变换\(f'=(f^-,f^-+f^+)\)。

研究一下\((f*g)'\)的性质，得到：

\[(f*g)'=(f^-*g^-,(f^-+f^+)*(g^-+g^+)) \]

这个式子也等价于：

\[(f*g)'^-=f'^-*g'^-，(f*g)'^+=f'^+*g'^+ \]

我们发现做了这个变换以后，集合幂级数的前半段和后半段就没有什么关系了，可以直接分开计算。那么我们不难发现如果我们对第二维也做这样的变换，我们可以分成四段进行计算。以此类推，如果对\(n\)维都做这样的变换的话，计算就分开成了\(2^n\)个独立的部分，可以直接用点积来计算。

因此得到集合并卷积的快速沃尔什变换：

\[FWT(f)=(FWT(f^-),FWT(f^-)+FWT(f^+)) \]

剩下的一个问题就是做过快速沃尔什变换的\(f\)和\(g\)的点积是\(f*g\)快速沃尔什变换后的形式，因此我们还需要考虑其逆变换。

对于一维的变换，不难发现：

\[f=(f'^-,-f'^-+f'^+) \]

代入证明即可。类似的，我们将这个变换应用于\(n\)维，得到：

\[FWT^{-1}(f)=(FWT^{-1}(f^-),-FWT^{-1}(f^-)+FWT^{-1}(f^+)) \]

集合交卷积显然是类似的，为了完整我们也来推一遍：

\[f*g=(f^-*g^-+f^-*g^++f^+*g^-,f^+*g^+) \]

转化为两次乘法：

\[f*g=((f^-+f^+)*(g^-+g^+)-f^+*g^+,f^+*g^+) \]

类似的得到变换\(f'=(f^-+f^+,f^+)\)，复合得：

\[FWT(f)=(FWT(f^-)+FWT(f^+),FWT(f^+)) \]

类似的得到其逆变换：

\[FWT^{-1}(f)=(FWT^{-1}(f^-)-FWT^{-1}(f^+),FWT^{-1}(f^+)) \]

下面介绍集合对称差卷积。根据对称差的定义，有：

\[f*g=(f^-*g^-+f^+*g^+,f^-*g^++f^+*g^-) \]

对于这个形式找只计算两次乘法的形式我觉得其实挺要脑力的，不过还是可以找出来的，即：

\[f*g=(\frac{(f^-+f^+)*(g^-+g^+)+(f^--f^+)*(g^--g^+)}{2},\frac{(f^-+f^+)*(g^-+g^+)-(f^--f^+)*(g^--g^+)}{2}) \]

因此对于集合幂级数\(f\)我们只需要知道\(f^-+f^+\)和\(f^--f^+\)，构造变换\(f'=(f^-+f^+,f^--f^+)\)，同样可以将卷积分为前后两部分，因此复合这个变换得到集合对称差卷积的快速沃尔什变换：

\[FWT(f)=(FWT(f^-)+FWT(f^+),FWT(f^-)-FWT(f^+)) \]

同时得出其逆变换：

\[FWT^{-1}(f)=(\frac{FWT^{-1}(f^-)+FWT^{-1}(f^+)}{2},\frac{FWT^{-1}(f^-)-FWT^{-1}(f^+)}{2}) \]

同时可以发现集合对称差卷积要求值域有\(2\)的逆元。

\(\rm 2019.1.1upd\)：这篇文章写了有段时间了，之后我似乎想到了一个更简洁的解释快速沃尔什变换的方法：将逻辑或看作取\(\max\)，那么集合并卷积就是对每一维做\(\max\)卷积。可以推得\(\max\)卷积的卷积变换就是前缀和，逆变换就是差分。于是只要利用卷积的复合，对每一维做前缀和以及变换完之后的差分即可。集合交卷积也是相似的。至于集合对称差卷积，由于逻辑异或可以看作是模\(2\)意义下的加法，于是只要对每一维做长度为\(2\)的循环卷积即可。