Codeforces Round #576 (Div. 1)

A. MP3

除了挖坑一无是处的屑题，不写了！

B. Welfare State

题意：两种操作，全局取max，单点修改，输出最终的序列。

题解：segment beats!

C. Matching vs Independent Set

题意：\(3n\)个点的图，找出一组大小为\(n\)的匹配或独立集。

题解：扫描所有边，能匹配就匹配。若匹配数大于\(n\)，输出匹配。否则剩下的点形成独立集，原因：如果有边，之前暴力扫描会被匹配到。

D. Rectangle Painting 1

题意：有\(n\times n\)的矩形，格子是黑色或白色，每一可以花\(\max\{h,w\}\)的代价把\(h\times w\)的矩阵染白，问将全体染白的最小代价。\(n\leq 50\)

题解：

证明一个结论，假设不是\(n\times n\)的矩形，而是一般化为\(n\times m\)，不妨设\(n\geq m\)，则有最优解一定是\(n\times m\)全覆盖，或者存在一个垂直于\(n\)方向的分界线，没有染白矩阵跨越这条线。

证明：如果不存在这样的线，每一处分界线都至少有一个矩形越过，容易发现这样的方案一定不优于直接全覆盖。

于是暴力地来个dp，令\(dp_{xl,xr,yl,yr}\)为覆盖子矩形\([xl,xr]\times [yl,yr]\)的最小代价，选择长的那一边暴力枚举分界线，递归到左右两边求和，最后和全覆盖取更优。复杂度\(O(n^5)\)，小常数可以过。

E. Rectangle Painting 2

题意：有\(n\times n\)的矩形，格子是黑色或白色，每一可以花\(\min\{h,w\}\)的代价把\(h\times w\)的矩阵染白，问将全体染白的最小代价。\(n\leq 10^9\)，黑色位置由\(m\)个可以有交集的矩形给出，\(m\leq 50\)

题解：

首先发现一定是取宽度为\(1\)的横向/纵向长条最优。

先离散化，于是对每一个黑格子\((i,j)\)，这代表了第\(i\)行或者第\(j\)列需要被选中，问最少选中数。

这就是个点覆盖问题，二分图上转最小割就行了。因为离散化，点是带权的。

F. GCD Groups 2

题意：有一堆数，把它们分成非空两组使\(\gcd\)均为\(1\)，或说明方案不存在。

题解：

考场上没做出来。

假设存在一组这样的方案，不妨考虑第一个数\(a\)所在的集合，\(a\)最多有\(k=9\)个质因子，对每个质因子，显见\(a\)所在的组里至少有一个数不含这个质因子。于是\(a\)所在的集合可以只保留这些数而\(\gcd\)仍然为\(1\)，这些数共不超过\(k+1\)个。即：如有解，则一定存在\(a\)所在的组只含至多\(k+1\)个数的解。

那么直接随机一个数\(b\)，并钦点它和\(a\)不在一个集合，钦点出错的概率至多为\(\frac{k}{n}\)，多随机几次就几乎不会错了。

假设有一次钦点对了，那么\(b\)也只有至多\(k\)个质因子。添加数的时候，只需要把\(a\)和\(b\)的质因子消完即可。现在这样选出\(O(k^2)\)个数：对\(a\)或\(b\)的每个质因子，选出\(2k\)个或者所有能消去这个质因子的数，并集为\(S\)。那么原情况有解等价于\(S\cup\{a,b\}\)上有解，原因：对一种方案，\(a\)和\(b\)都只需要其中最多\(k\)个数，把能消去某个质因子的全部换成\(S\)中的同样功效的数，显然仍合法。

于是只剩下\(O(k^2)\)个数，直接dp，用\(dp_{S,T,i}\)表示考虑了前\(i\)个数，\(a\)剩下质因子集合为\(S\)，\(b\)剩下质因子集合为\(T\)的方案是否存在，转移容易得出。复杂度\(O(4^kk^2+nk)\)。