支配树
为了方便本文的叙述，做出如下可能不严谨的定义：
对于一棵树，我们可以用\([x,y]\)简洁的表示从\(x\)到\(y\)的路径上的所有点组成的集合，假如我们希望这个集合不包含\(x\)或\(y\)，只要将闭区间改为开区间即可。如\([x,y)\)表示从\(x\)到\(y\)的路径上的所有点（不包含\(y\)）组成的集合。
我们从一道简单的板子题（在读完这篇文章以后就是了）开始：
给定一个\(n\)个点，\(m\)条边的有向图\(G\)，以及一个出发点\(r\)。询问\(q\)次，每次给定点\(x\)，\(y\)，保证从\(r\)出发可以到达\(x\)。问从\(r\)出发到达\(x\)的所有路径是否都需要经过\(y\)。
\(n,m,q\leq 10^5\)。
为了解决这个问题，我们定义有向图上的支配关系：对于一个固定的出发点\(r\)，如果从\(r\)出发到达\(x\)的所有路径都需要经过\(y\)，则称\(y\)是\(x\)的支配点，即\(y\)支配\(x\)。特别的，我们认为\(x\)不是\(x\)的支配点。
我们来研究一下支配关系有哪些性质：
首先，我们将以\(r\)为根的\(dfs\)树建立出来。容易发现，对于任意一个点\(x\)，它的所有支配点只可能是它的祖先——显然，对于不是它的祖先的任意一个点\(y\)，我们从\(r\)通过树边到达\(x\)就不需要经过\(y\)。
接着我们假设\(y\)是\(x\)的支配点中深度最大的（即距离\(x\)最近的），那么还可以发现：对于\(z\neq y\)，\(z\)是\(x\)的支配点当且仅当\(z\)是\(y\)的支配点。
证明如下：
首先证明充分性。如果\(y\)支配\(x\)，\(z\)支配\(y\)，那么假设\(z\)不支配\(x\)，即存在一条路径不经过\(z\)。那么显然由于这条路径必定经过\(y\)，于是我们就找到了一条不经过\(z\)到达\(y\)的路径，这与前提条件矛盾，于是假设不成立，充分性得证。
再证明必要性。如果\(y\)支配\(x\)，\(z\)不支配\(y\)，显然可以找到一条路径不经过\(z\)而到达\(y\)。此时由于\(y\)是深度最大的\(x\)的支配点，因此沿着树边一直走到\(x\)，必定不会经过\(z\)，于是\(z\)就不可能是\(x\)的支配点。
于是我们就可以知道，对于任意一个点\(x\)，我们只要找到它深度最大的支配点\(y\)，其余的支配点就都是\(y\)的支配点。不难发现，这样的支配关系形成了一个类似树的结构，将之前所说的\(y\)当作\(x\)的父亲的话，那么\(x\)的所有支配点就是这棵树上它的祖先。我们将这棵树叫做支配树，将这样的\(y\)记为\(idom(x)\)。
那么问题来了，如何求出\(idom(x)\)呢？
为了解决这个问题，我们先定义一个叫做半支配的东西：
对于任意一个点\(x\)，从\(y\)出发，只经过不是\(x\)的祖先的点就可以到达\(x\)（不包含\(x\)，\(y\)），则称\(y\)是\(x\)的半支配点，即\(y\)半支配\(x\)。
首先，我们可以发现\(x\)的深度最小的半支配点一定是\(x\)的祖先。因为假设\(x\)的深度最小的半支配点\(y\)不是\(x\)的祖先，那么显然我们可以沿着树边往回走，一直走到某个\(x\)的祖先\(z\)上。这其间肯定不会经过除\(z\)以外的\(x\)的祖先点，于是\(z\)的深度比\(y\)小，且也是\(x\)的半支配点，于是假设不成立，得证。
接着，如果\(y\)是\(x\)的深度最小的半支配点，那么树上路径\((x,y)\)中的点就显然不是\(x\)的支配点——因为从\(y\)出发存在一条路不经过它们而到达\(x\)。我们将这样的\(y\)记为\(sdom(x)\)。
我们来考虑如果求得了半支配点，那么如何求支配点。考虑对于一个点\(x\)，树上路径\((x,sdom(x))\)中的点一定不是\(x\)的支配点。并且对于任意一个\(x\)的祖先\(y\)，树上路径\((y,sdom(y))\)中的点也一定不是\(x\)的支配点。反之，如果某个\(x\)的祖先\(z\)不被\((x,sdom(x))\)和任何一个\((y,sdom(y))\)包含，那么\(z\)一定是\(x\)的支配点——否则一定会存在一条不经过\(z\)的路径\(S\)到达\(x\)，\(S\)中一定存在两个\(x\)的祖先\(a,b\)使得树上路径\((a,b)\)经过\(z\)而\(a,b\)之间不经过其它\(x\)的祖先，于是\(z\)一定会被某个区间包含。
于是\(idom(x)\)就是不被如上所述的这些区间包含的\(x\)的祖先中深度最大的。考虑递归解决这个问题，如果\(y\)是\([x,sdom(x))\)中\(sdom(y)\)的深度最小的，那么如果\(sdom(y)\)就是\(sdom(x)\)，显然\(sdom(x)\)不会被任何区间包含了，那么\(idom(x)\)就是\(sdom(x)\)。否则我们就去掉区间\((x,sdom(x))\)并求对于\(y\)来说这个问题的答案即可——而这就是\(idom(y)\)，已经求好了。
好，现在解决最后一个问题，如何求出\(sdom(x)\)。分两种情况讨论：
\(1)\)最后一条边为前向边或树边。显然另一端就是\(x\)的祖先，路径必须结束。这种情况可以直接得到半支配点。
\(2)\)最后一条边为横插边或后向边，设走到的点为\(y\)，而\(x\)，\(y\)在\(dfs\)树上的\(lca\)为\(z\)。由于\(lca\)为\(z\)，因此树上路径\([x,z)\)中的点一定无法到达\([y,z)\)中的点，于是对于\([y,z)\)的\(sdom\)来说，不会有经过\([x,z)\)中的点的路径，那么显然树上路径\([y,z)\)中的点对于\(x\)来说都是合法的。于是用树上路径\([y,z)\)中的点的\(sdom\)来更新\(sdom(x)\)即可。可以发现沿着时间戳反向求\(sdom\)的话，我们求\(sdom\)的顺序就不会冲突。
于是我们就解决了文章开头提到的那个问题。至于具体的实现，我们在反向求\(sdom\)的过程中可以用带权并查集维护一段树上路径的\(sdom\)最小值，在求完一个点的\(sdom\)以后将它的儿子与它合并即可。这样每次查询时并查集维护的恰好就是我们需要的那一条链。至于求\(idom\)的过程，我们需要知道\([x,sdom(x))\)的信息，于是将请求接入\(sdom(x)\)的链表中。每一次求完\(x\)的\(sdom\)后，我们扫描其父亲的请求链表，对于链表中每一个\(y\)，可以发现带权并查集此时维护的就是我们要查询的区间\([y,sdom(y))\)，直接从带权并查集上得知\(sdom\)最小的为哪一个并存下来并清空链表，在最后求\(idom\)时直接用即可。
时间复杂度\(O((n+m)\log n)\)。
有向图上还有类似的支配边的关系，容易发现只有树边能成为支配边。且如果一条边\(y\to x\)为\(x\)的支配边，需要\(y\)为\(x\)的支配点，且对于所有有非树边指向\(x\)的点\(z\)，都有\(x\)支配\(z\)。
有向图上还有割点、桥、点双、边双的定义。不过还是下次填坑吧...
