2024-3月 DP 总结

换根 DP

换根 DP，又称二次扫描，一般用于求解无根树问题。大多数时候将 $n$ 次 dfs 简化为 $2$ 次从而优化算法。

经典套路：

$1.$ 指定某个节点为根节点（一般为 $1$ ）。

$2.$ 第一次搜索完成预处理，同时得到该节点的解。

$3.$ 第二次搜索进行换根 DP，由已知节点推出相邻节点。

具体地，设 $f$ 和 $g$ 两个数组分别表示第一次子树内的答案和以其为根的答案（也可以设子树外的答案）。第一次 dfs 处理 $f$ ，第二次 dfs 通过父亲的 $g$ 推出儿子。也即第一次自底向上，第二次自顶向下。这就是所谓“换根”的过程。

例题1 P3478 [POI2008] STA-Station

【题意】

给出一棵树,找出一个点来,使得以这个点为根时所有点的深度之和最大。

【解析】

设 $f_{i}$ 表示 $i$ 子树内的答案，则显然地， $f_{u} = \sum_{v \in u} f_{v} + s i z_{v}$ ，这里的 $s i z$ 表示子树大小。

第二次 dfs，考虑设 $g_{i}$ 表示以 $i$ 为整棵树的根的答案。则 $g_{v} = g_{u} + n - 2 \times s i z_{v}$ 。特殊地， $g_{1} = f_{1}$ 。

答案为 $max g_{i}$ ，时空复杂度 $O (n)$ 。

例题2 CF1156D 0-1-Tree

可以左转我的题解。

斜率优化 DP

斜率优化，一般是在转移方程中当前为 $i$ ，枚举决策点 $j$ ，然后化简式子出现同时与 $i$ 和 $j$ 有关的项（如果没有可以单调队列）。这样的话有点像一次函数，形如 $y = k x + b$ ，那么这里的 $k x$ 就是与 $i$ 和 $j$ 有关的项（具体题目具体分析）。问题变成查询最有决策点。
如果式子中的 $x$ 与 $y$ 都有单调性，可以使用单调队列线性维护。否则有两种做法：维护凸壳并二分或李超树（也可以平衡树或 cdq 分治，但我不会，就不弄巧成拙了）。这些做法是带一个 log 的。

经典套路：

$1.$ 写出朴素转移方程。

$2.$ 化简并设出 $x, y, k, b$ ，根据所求决定维护上凸还是下凸（最大值还是最小值）。

$3.$ 看单调性决定维护方式。

例题1 P3195 [HNOI2008] 玩具装箱

【题意】

给定一个序列，要求将其划分成若干段，一段划分为 $[i, j]$ 的费用为 $(j - i + \sum_{k = i}^{j} C_{k} - L)^{2}$ （这里的 $C_{k}$ 为给定数组， $L$ 为给定常量）。最小化划分序列的费用和。

【解析】

朴素的转移方程为：（设 $f_{i}$ 表示考虑到 $i$ 的答案， $s_{i}$ 表示 $C_{i}$ 的前缀和）

f_{i} = min_{1 \leq j < i} (f_{j} + [i - (j + 1) + s_{i} - s_{j} - L]^{2})

换元并化简，设 $a_{i} = s_{i} + i ， b_{i} = s_{i} + i + L + 1$ 。

\begin{aligned} f_{i} = min_{1 \leq j < i} (f_{j} + [a_{i} - b_{j}]^{2}) \\ f_{i} = min_{1 \leq j < i} (f_{j} + a_{i}^{2} + b_{j}^{2} - 2 \times a_{i} \times b_{j}) \end{aligned}

先不管取 $min$ ，先推式子，并把只与 $j$ 有关的移到一边，尝试分离 $i$ 和 $j$ 。

\begin{aligned} f_{i} & = f_{j} + a_{i}^{2} + b_{j}^{2} - 2 \times a_{i} \times b_{j} \\ f_{j} + b_{j}^{2} & = f_{i} - a_{i}^{2} + 2 \times a_{i} \times b_{j} \end{aligned}

我们发现，如果设 $y = f_{j} + b_{j}^{2} ， k = 2 \times a_{i} ， x = b_{j} ， b = f_{i} - a_{i}^{2}$ ，那么方程变成了一个一次函数形式 $y = k x + b$ 。所以要做的就是在二维平面中找一个斜率固定的直线使 $b$ 最小。