浅谈FHQ-Treap

前言

Treap 这个词是由 Tree 和 Heap 组合形成的，可以看出 Treap 是查找树和堆的结合，因此中文叫树堆。

和其他平衡树一样，Treap 的中序遍历值单调不减；而根据堆的性质，每个结点的权小于两个子结点的权。

Treap 分为有旋和无旋两种，而无旋 Treap又叫 FHQ-Treap，主要通过分裂（split）和合并（merge）实现维护操作。

---

操作

1​. 分裂（split）

分裂操作是将一个树分成 $x,y$ 两个树。$x$ 中每一个结点的值都小于 $k$，而 $y$ 中每一个结点的值都大于等于 $k$。复杂度 $O(logn)$

举个例子：

（此图盗自出自某dalao blog）

代码：

void split(int p,int _val,int &x,int &y)
{
	if(!p) x=y=0;
	else if(t[p].val<=_val)
	{
		split(t[p].r,_val,t[p].r,y);
		pushup(p);
		x=p;
	}
	else
	{
		split(t[p].l,_val,x,t[p].l);
		pushup(p);
		y=p;
	}
}

---

$2.$ 合并 （merge）

合并是将 $x,y$ 两棵树合并为一棵树 复杂度 $O(logn)$

（此图盗自出自另一位dalao blog）

代码：

int merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y) return x+y;
	if(t[x].key<=t[y].key)
	{
		t[x].r=merge(t[x].r,y);
		pushup(x);
		return x;
	}
	else
	{
		t[y].l=merge(x,t[y].l);
		pushup(y);
		return y;
	}
}

---

$3.$ 插入

先将申请一个新的结点，作为一棵树 $y$；并将原来的树分裂成 $x,z$ 两棵树。
然后依次合并 $x,y,z$，就完成了。复杂度 $O(logn)$

代码：

inline void insert(int _val)
{
	int x,y;
	split(root,_val,x,y);
	t[++cnt].init(_val);
	root=merge(x,merge(cnt,y));
}

$4.$ 删除

删除比较巧妙，先将树分裂成 $x,y,z$ 三棵树；其中 $x$ 的每个结点的值均小于 $k$，$y$ 的每个结点的值均为 $k$，$z$ 的每个结点的值均大于 $k$ 。

直接合并 $y$ 的左右两棵子树，根节点就被删除掉了。最后，依次合并 $x,y,z$。

复杂度 $O(logn)$

代码：

inline void del(int _val)
{
	int x,y,z;
	split(root,_val,x,y);
	split(x,_val-1,x,z);
	z=merge(t[z].l,t[z].r);
	root=merge(x,merge(z,y));
}

$5.$ 查询排名

直接分裂，小于 $k$ 的树的大小加一即为排名。

复杂度 $O(logn)$

int getrank(int p,int _val)
{
	int x,y;
	split(root,_val-1,x,y);
	int res=t[x].siz+1;
	root=merge(x,y);
	return res; 
}

$6.$ 排名为 $x$ 的数

这个操作是查询第 $x$ 大,要按照普通的查询方法来搞

详见代码：

int getvalue(int p,int k)
{
	if(t[t[p].l].siz+1==k) return t[p].val;
	if(t[t[p].l].siz+1<k) return getvalue(t[p].r,k-t[t[p].l].siz-1);
	else return getvalue(t[p].l,k);
}

$7.$ 前驱

所以直接查找小于 $x$ 的数里最大的。

代码：

inline int prev(int _val)
{
	int x,y;
	split(root,_val-1,x,y);
	int tmp=x;
	while(t[tmp].r) tmp=t[tmp].r;
	root=merge(x,y);
	return t[tmp].val;
}

$8.$ 后继

于前驱同理，找大于等于 $x$ 里最小的

代码：

inline int nex(int _val)
{
	int x,y;
	split(root,_val,x,y);
	int tmp=y;
	while(t[tmp].l) tmp=t[tmp].l;
	root=merge(x,y);
	return t[tmp].val;
}

---

P3369 【模板】普通平衡树

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
using namespace std;
namespace fastio
{
	#define te template<typename T>
	#define tem template<typename T,typename ...Args>
	te inline static void read(T &x){x=0;int f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}if(f==-1) x=-x;}
    tem inline static void read(T& x,Args& ...args){read(x);read(args...);}
	te inline static void write(char c,T x){T p=x;if(!p) putchar('0');if(p<0){putchar('-');p=-p;}int cnt[105],tot=0;while(p){cnt[++tot]=p%10;p/=10;}for(int i=tot;i>=1;i--){putchar(cnt[i]+'0');}putchar(c);}
    tem inline static void write(const char c,T x,Args ...args){write(c,x);write(c,args...);}
}using namespace fastio;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int op,x;
int root,cnt;
struct node{
	int l,r,key,val,siz;	
	inline void init(int _val){
		val=_val;
		siz=1;
		key=rand();
	}
}t[N];
inline void pushup(int p){t[p].siz=t[t[p].l].siz+t[t[p].r].siz+1;}
void split(int p,int _val,int &x,int &y){
	if(!p) x=y=0;
	else if(t[p].val<=_val){
		split(t[p].r,_val,t[p].r,y);
		pushup(p);x=p;
	}else{
		split(t[p].l,_val,x,t[p].l);
		pushup(p);y=p;
	}
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y) return x+y;
	if(t[x].key<=t[y].key){
		t[x].r=merge(t[x].r,y);
		pushup(x);return x;
	}else{
		t[y].l=merge(x,t[y].l);
		pushup(y);return y;
	}
}
inline void insert(int _val){
	int x,y;
	split(root,_val,x,y);
	t[++cnt].init(_val);
	root=merge(x,merge(cnt,y));
}
inline void del(int _val){
	int x,y,z;
	split(root,_val,x,y);
	split(x,_val-1,x,z);
	z=merge(t[z].l,t[z].r);
	root=merge(x,merge(z,y));
}
int getrank(int p,int _val){
	int x,y;
	split(root,_val-1,x,y);
	int res=t[x].siz+1;
	root=merge(x,y);return res; 
}
int getvalue(int p,int k){
	if(t[t[p].l].siz+1==k) return t[p].val;
	if(t[t[p].l].siz+1<k) return getvalue(t[p].r,k-t[t[p].l].siz-1);
	else return getvalue(t[p].l,k);
}
inline int prev(int _val){
	int x,y;
	split(root,_val-1,x,y);
	int tmp=x;
	while(t[tmp].r) tmp=t[tmp].r;
	root=merge(x,y);
	return t[tmp].val;
}
inline int nex(int _val){
	int x,y;
	split(root,_val,x,y);
	int tmp=y;
	while(t[tmp].l) tmp=t[tmp].l;
	root=merge(x,y);
	return t[tmp].val;
}
int main(){
	srand(time(0));
	read(n);
	while(n--){
		read(op,x); 
		if(op==1) insert(x);
		else if(op==2) del(x);
		else if(op==3) write('\n',getrank(root,x));
		else if(op==4) write('\n',getvalue(root,x));
		else if(op==5) write('\n',prev(x));
		else if(op==6) write('\n',nex(x));
	}
	return 0;
}

---

~~完结撒花~~