P2568 GCD

Question 问题 P2568 GCD

\[\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [\gcd(i, j)==p] \]

Analysis 分析 1

（所以肯定有第二种思考的方法，看后面（目前没写））

变形

\[\sum_{p\in prime}\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac n p}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor{\frac n p}\rfloor} [\gcd(i, j)==1] \]

改变枚举上界

\[\sum_{p\in prime}(\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac n p}\rfloor}(2\sum_{j=1}^i[gcd(i,j)==1])-1) \]

容易发现后面的 \(\sum_{j=1}^i[gcd(i,j)==1]\) 就是 \(\varphi(i)\) 替换一下

\[\sum_{p\in prime}(2\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac n p}\rfloor}\varphi(i)-1) \]

至此，该式子变换已经结束

我们只需要通过线性筛出 \(\varphi(i)\) 和 \(prime\)

做一个前缀和后 枚举所有\(p\in prime\) 并且 \(p\le n\)的所有情况就结束了

Code 代码

线性筛部分

void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!f[i]) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
			f[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}

主函数

int main(){
	cin>>n;init();
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=2*sum[n/prime[i]]-1;
	cout<<ans;
	return 0;
}