P8445 射命丸文的取材之旅

Question 问题 P8445 射命丸文的取材之旅

给定序列 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，求一个序列 \(\{c_n\}\) 满足 \(\forall i\in[1,n],c_i\in\{a_i,b_i\}\)，最大化

\[\max\{r-l+1-\operatorname{mex}\{c_l,c_{l+1},\dots, c_{r-1},c_r\}\}(1\le l\le r\le n) \]

并输出该式子可能的最大值。

Analysis 分析

这道题的提示有两个地方：

1. 数据范围，40% 的数据中 \(a_i = b_i\) 直接把问题转换为给一个序列 \(\{c_n\}\) 求那个式子的最大值。
2. 另一个是 mex 我们发现这玩意比较难处理，但是数据范围较小。

Solution

所以我们考虑枚举 mex 的值。设当前枚举的 mex 为 \(t\)。

考虑在 40% 的数据下，什么时候一个区间的 mex 不可为 \(t\) ，即区间内出现了 \(t\) 这个数。所以我们在当前枚举的情况下，将每一个 \(c_i = t\) 是为一个墙，（特别地，\(c_{n+1}=t\) ）任何合法的区间只能在墙内。所以我们记两个数组 \(len_i\)：mex 为 \(i\) 时的最大答案，\(pre_i\)：\(i\) 上一次出现的地方，那么就有 \(len_i=max(len_{a_i},i-pre_{a_i}-1)\)。

考虑满分做法，我们会发现若 \(a_i \neq b_i\) 是没有用的，因为若该区间 mex 为 \(a_i\)，我们可以让这一位为 \(b_i\)，同理若 mex 为 \(b_i\)，这一位为 \(a_i\)，对答案的计算毫无影响。所以我们只需要考虑 \(a_i = b_i\) 的位置，按 40% 的处理方法进行计算。

实现注意：

1. 我们可以将最后一位视作一堵墙，记得把这个答案也更新在其中

Code 代码

int n,ans;
int a[N],b[N],pre[N],len[N];
int main(){
    read(n);
    for(rint i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    for(rint i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
    for(rint i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==b[i]){
            len[a[i]]=max(len[a[i]],i-pre[a[i]]-1);
            pre[a[i]]=i;
        }
    }
    for(rint i=0;i<=n;i++) len[i]=max(len[i],n-pre[i]);//实现注意 1
    for(rint i=0;i<=n;i++) ans=max(ans,len[i]-i);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}