P10161 [DTCPC 2024] 小方的疑惑 10

Question 问题 P10161 [DTCPC 2024] 小方的疑惑 10

要求构造一个长度为 \(n\) 的括号字符串，其中 \(k\) 个子串为合法的括号序列。无法构造输出 \(-1\)。

Analysis 分析

手玩一下可以发现最优情况有以下两种情况：

1. ()()...() 如果有 \(x\) 对括号，则有 \(\frac{x(x+1)}{2}\) 个字串为合法的括号序列。
2. (()()...()) 相当于在 \(1\) 情况外边加一层，多出一个合法字串，并且让当前括号对数变为 \(1\) 对。

以下令 \(s(x)=\frac{x(x+1)}{2}\)。

Solution 构造

我们可以通过这样构造类似 \(\texttt{\color{red}{(\color{blue}(\color{black}()()()\color{blue})()()\color{red})()()()}}\) 这样的括号序列，用颜色标记出来了。计算的话分三层分别是最里面的 \(3\) 对，中间的 \(2+1\) 对，最外层 \(3+1\) 对（\(+1\) 的原因是第 \(2\) 种情况会使括号对变为 \(1\)，要加上）。最终总共的合法字串数为： \(s(3)+s(3)+s(4)=22\) 对。

也就是说，我们相当于把这个构造的字符串分为 \(m\) 层，每层填 \(a_i\) 对括号，则总的合法括号字串数为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{m} s(a_i)\) 。

其实这个问题相当于完全背包。

背包容量为 \(k\)，每个货物（也就是每一层填入的括号组数）的体积是 \(s(x)\) ，价值是 \(x\)，每一件可以无限选。问填满背包的最小价值。

跑一遍完全背包，记录一下转移的路径，输出即可。无解即为最小值比 \(n\) 大。

Specific 细节

1. 如果有剩余的部分全部输出 '(' 。
2. 除第一层外的每一层都有多一对括号对，输出时要注意
3. 输出答案我使用了一个抽象方法，详见代码。
4. 贪心找最大的 \(s(x)\) 去填可以被卡，数据如下（但好像很少可以被卡掉）。

input

28 54

output

((()()()()()()()()())()())()

Code 代码

int T,n,m; 
int v[N],w[N],f[N],turn[N];
signed main(){
	read(T);
	for(rint i=1;i<=N-8;i++) w[i]=-(2*i),v[i]=(i+1)*i/2;//预处理货物的体积和价值
	for(rint i=1;i<=N-8;i++) f[i]=-inf; 
	for(rint i=1;i<=N-8;i++){
	    for(rint j=v[i];j<=N-8;j++){
		   	if(f[j]<f[j-v[i]]+w[i]) turn[j]=i/*记录转移路径*/,f[j]=f[j-v[i]]+w[i];
		}
	}//完全背包
	while(T--){
		read(n,m);
		if(-f[m]>n) puts("-1");
		else{
			//细节3：神奇输出方式
			//构造一个长度为两倍的字符串，记录左端点 l 和右端点 r，两个都在中间
			//这样就可以一边填括号，一边在外边套一层括号
			//最后输出 [l,r] 里的字符串 
			char s[200008]="";int l=100000,r=100000,now=m;
			for(rint i=turn[now];i;i=turn[now]){//沿着记录的路径倒推 
				for(rint j=1;j<=i-(now!=m)/*细节2*/;j++) s[r]='(',s[r+1]=')',r+=2;//往右填括号对 例：()()
				l--;s[l]='(';s[r]=')';r++;//外面包一层 例：(()())
				now=now-v[turn[now]];//沿着记录的路径倒推 
			}
			l++;r-=2;//会多包一层，删掉 
			for(rint i=l;i<=r;i++) putchar(s[i]);
			for(rint i=r-l+1;i<n;i++) putchar('(');puts("");//细节1：补充剩余的左括号 例：(()())(((( 
		}
	} 
	return 0;
}

Proof 补充证明

为何如上的构造是消耗最小括号的构造方案？其实任意一种括号序列都可以转化为其上的方案。任意一种括号序列可以看作合法括号序列 \(a_i\) 和非法括号序列 \(b_i\) 相交织（\(a_i\) 和 \(b_i\) 可以是 \(0\)），也就是如下形式：

\[b_1a_1b_2a_2...a_{m-1}b_m \]

Step 1 扔掉最两边的 \(b_1\) 和 \(b_m\)，不影响结果。转化后为：\(a_1b_2a_2...a_{m-1}\)

Step 2 我们发现每两个合法括号序列之间必有一非法括号序列相隔，我们可以把 \(a_1\) 塞入 \(a_2\) 的第一个括号里，然后把 \(b_2\) 扔掉，合法字串数显然不变而消耗的括号减少了 \(b_2\) 个。以此类推，把 \(a_2\) 塞入 \(a_3\)，扔掉 \(b_3\) 一直到 \(a_{m-2}\) 塞入 \(a_{m-1}\) 扔掉 \(b_{m-1}\)。最后出来的即为我们以上构造的方案。而长度较原先减少了 \(\sum_{i=1}^m b_i\) 个括号，故为最短的构造方案。

模拟一下

原括号序列 \(\texttt{)))(()()()(((()())(()()(((}\)

Step 1 \(\texttt{)))( \color{#00BA00}()()() \color{black}(( \color{blue}(()())() \color{black}( \color{red}()() \color{black}(((}\)

\(~~~~~~~~~~\texttt{\color{#00BA00}()()() \color{black}(( \color{blue}(()())() \color{black}( \color{red}()()}\)

Step 2 \(\texttt{\color{blue}((\color{#00BA00}()()()\color{blue})())() \color{black}( \color{red}()()}\)

\(~~~~~~~~~~\texttt{\color{red}(\color{blue}((\color{#00BA00}()()()\color{blue})())()\color{red})()}\)

题外话

直接用 string 输出好像也没事？