数学小报4 - 三次方程的求根公式 The root formula for a cubic equation

1. 思考

我们学习过一元二次方程的求根公式 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。

补充 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ 且 $ω^{3} = 1$ ，将 $ω$ 称为 $1$ 的三次单位根。

2. 证明卡尔丹公式证明

设一元三次方程 $a y^{3} + b y^{2} + c y + d = 0 (1)$

令 $y = x - \frac{b}{3 a}$ ，代入得： $x^{3} - \frac{b^{2} - 3 a c}{3 a^{2}} x + \frac{a b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} = 0 (2)$

令 $p = \frac{b^{2} - 3 a c}{3 a^{2}} ， q = \frac{2 b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}}$ ，则 $x^{3} - p x + q = 0 (3)$

令 $x = u + v$ ，代入至 (3) 式得： $u^{3} + v^{3} + (3 u v - p) (u + v) + q = 0 (4)$

令 $3 u v - p = 0$ 即 $u v = \frac{p}{3}$ ，代入 (4) 式得： $u^{3} + v^{3} = - q (5)$

$∴ u^{3} \times v^{3} = \frac{p^{3}}{27} (6)$

\begin{aligned} 联 立 (5) 和 (6) 式 得 : {\begin{array}{c} u^{3} + v^{3} = - q \\ u^{3} \times v^{3} = - \frac{q^{3}}{27} \end{array} 即 {\begin{array}{c} u^{3} = - \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}} \\ v^{3} = - \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}} \end{array} \\ ∴ u = {\begin{array}{c} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω^{2} \end{array} v = {\begin{array}{c} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω^{2} \end{array} \\ ∵ u v = \frac{p}{3} \\ ∴ x = {\begin{array}{c} \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω^{2} \\ \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω^{2} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} \cdot ω \end{array} \end{aligned}

3. 总结

一元二次方程有自己的判别式，其实在一元三次方程中也有自己的判别式： $Δ = \frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}$

条件	情况
$Δ > 0$	方程有一个实根和一对共轭虚根
$Δ = 0$ 且 $p q \neq 0$	方程有一个两重实根和一个单重实根
$Δ < 0$	方程有三个互异实根
$p = q = 0$	方程有一个三重实根

4. 另一种证法（出自数学女孩）

设一元三次方程 $a y^{3} + b y^{2} + c y + d = 0 (1)$

令 $y = x - \frac{b}{3 a}$ ，代入得： $x^{3} - \frac{b^{2} - 3 a c}{3 a^{2}} x + \frac{a b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} = 0 (2)$

令 $p = - \frac{b^{2} - 3 a c}{3 a^{2}} ， q = \frac{2 b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}}$ ，则 $x^{3} + p x + q = 0 (3)$

令方程的三个解分别为 $α, β, γ$

则有 $(x - α) (x - β) (x - γ) = 0$ ，即：

\begin{aligned} x^{3} + (α + β + γ) x^{2} - (α β + α γ + β γ) x - α β γ = 0 \\ ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} α + β + γ & = 0 \\ α β + α γ + β γ & = p \\ - α β γ & = q \end{aligned} \end{array} 令 {\begin{array}{c} L = ω α + ω^{2} β + γ \\ R = ω^{2} α + ω β + γ \end{array} \\ 则 {\begin{array}{c} \begin{aligned} L + R + α + β = L + R - γ = 2 γ, γ & = \frac{L + R}{3} \\ ω^{2} L + ω R + β + γ = ω^{2} L + ω R - α = 2 α, α & = \frac{ω^{2} L + ω R}{3} \\ ω L + ω^{2} R + β + γ = ω L + ω^{2} R - β = 2 β, β & = \frac{ω L + ω^{2} R}{3} \end{aligned} \end{array} \\ ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} α & = \frac{ω^{2} L + ω R}{3} \\ β & = \frac{ω L + ω^{2} R}{3} \\ γ & = \frac{L + R}{3} \end{aligned} \end{array} \\ \begin{aligned} ∵ L^{3} + R^{3} & = (L + R) (L + ω R) (L + ω^{2}) = \\ (ω α + ω^{2} β + γ + ω^{2} α + ω β + γ) \cdot \\ (ω α + ω^{2} β + γ + α + ω^{2} β + ω γ) \cdot \\ (ω α + ω^{2} β + γ + ω α + β + ω^{2} γ) \\ = (- 3 γ) (- 3 ω^{2} β) (- 3 ω α) \\ = - 27 ω^{3} α β γ \\ = - 27 q \\ L^{3} R^{3} & = (L R)^{3} \\ = (α + ω α β + ω^{2} α γ + ω^{2} α β + β^{2} + ω^{2} β γ \\ + ω β γ + ω α γ + ω^{2} β γ + γ^{2})^{3} \\ = [(α + β + γ)^{2} - 3 α β - 3 β γ - 3 α γ] \\ = - 3 (α β + β γ + α γ) \\ = - 27 p^{3} \end{aligned} \\ ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} L^{3} + R^{3} & = - 27 q \\ L^{3} R^{3} & = - 27 p^{3} \end{aligned} \end{array} 解 得 {\begin{array}{c} \begin{aligned} L^{3} & = \sqrt[3]{\frac{- 27 q + \sqrt{(27 q)^{2} + 108 p^{3}}}{2}} \\ R^{3} & = \sqrt[3]{\frac{- 27 q - \sqrt{(27 q)^{2} + 108 p^{3}}}{2}} \end{aligned} \end{array} \\ 令 : {\begin{array}{c} \begin{aligned} A & = - \frac{27 q}{2} \\ B & = \frac{\sqrt{(27 q)^{2} + 108 p^{3}}}{2} \end{aligned} \end{array} 则 {\begin{array}{c} \begin{aligned} L & = \sqrt[3]{A + \sqrt{B}} \\ R & = \sqrt[3]{A - \sqrt{B}} \end{aligned} \end{array} \\ ∵ {\begin{array}{c} \begin{aligned} α & = \frac{ω^{2} L + ω R}{3} \\ β & = \frac{ω L + ω^{2} R}{3} \\ γ & = \frac{L + R}{3} \end{aligned} \end{array} ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} α & = \frac{1}{3} (ω^{2} \sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + ω \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) \\ β & = \frac{1}{3} (ω \sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + ω^{2} \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) \\ γ & = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) \end{aligned} \end{array} \\ ∵ {\begin{array}{c} \begin{aligned} p & = - \frac{b^{2} - 3 a c}{3 a^{2}} \\ q & = \frac{2 b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} \end{aligned} \end{array} \\ ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} A & = - \frac{2 b^{3} - 9 b c + 27 a^{2} d}{2 a^{3}} \\ B & = \frac{27 (27 a^{2} d^{2} - 18 a b c d + 4 b^{3} d + 4 a c^{2} - b^{2} c^{2})}{4 a^{4}} \end{aligned} \end{array} \\ ∴ {\begin{array}{c} \begin{aligned} α & = \frac{1}{3} (ω^{2} \sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + ω \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) - \frac{b}{3 a} \\ β & = \frac{1}{3} (ω \sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + ω^{2} \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) - \frac{b}{3 a} \\ γ & = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{A + \sqrt{B}} + \sqrt[3]{A - \sqrt{B}}) - \frac{b}{3 a} \end{aligned} \end{array} \end{aligned}

上一篇题解合集

本文作者：Mr-Az

本文链接：https://www.cnblogs.com/Mr-Az/p/18221152/Math3-root-formula-for-cubic-equation

posted @ 2024-05-29 21:45 Mr_Azz 阅读(29) 评论(0) 编辑收藏举报

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