线性筛法求素数

 

题目

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n中质数的个数。

数据范围

1≤n≤1e6

输入样例：

8

输出样例：

4

 

 

埃氏筛法

时间复杂度：O(nloglogn)

思路：

 （1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）

（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去

（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去

（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去

（5）读取队列中当前最小的数7，然后把7的倍数删去

（6）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) st[j]=true;
        }
        
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_prime(n);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

线性筛法

时间复杂度：O(n)

思路：

埃氏筛法中有些数是筛了多次的，有没有什么办法使他只筛一次呢？（比如：12，在2的倍数时筛了一次，在3的倍数里面也筛了一次）为此我们提出了线性筛法。

 

prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=K*prime[j]，
接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,
prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int prime[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_prime(n);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}