同余最短路学习笔记
今天讲课讲到了同余最短路。简单记一下，防止之后忘了这个坑。
简介
同余最短路，可以用来处理问题：
1.「给定 n 个数，求这些数能拼出多少其他数（选数数量不限）」
2.「给 n 个数，求这些数不能拼出的最大 or 最小值」
3.「至少拼几次才能拼出模 k 余 x 的数」。
同余最短路可以通过同余来构造状态，类比差分约束的转换思路，利用同余构造的状态可以看做单源最短路中的点。同余最短路的转移通常是：\(f(i+x)=f(i)+x\)，类似于普通最短路中的 \(f(v)=f(u)+d(u,v)\)。
例题1：P3403 跳楼机
首先考虑，如果我只用 \(y\) 和 \(z\) 拼新，即 \(ay+bz = k\)，对于每一个 \(k\)，在我以后处理的过程中，无论加多少个 \(x\)，其唯一不变的是 \(k%x\) 的这个值。
所以考虑对于与余数为 \([0,x)\) 的数，我们实际上只需要保留最小的 \(ay+bz\)，这样才能在后面加 \(x\) 的处理中获得更大的数。
因此考虑，点编号就是余数，不断的往上添加 \(y\) 和 \(z\)，以 \([0,x)\) 为分别边的起点，以 \(f(i+x)=f(i)+x\) 作为转移，新的余数作为边的终点，加上的 \(y\)，\(z\) 作为边权。
对其跑最短路，\(d_i\) 就是同余中的最小 \(k\)（达到这个余数需到达的最小楼层）。
因为最大限制为 \(h\)，那你从 \(k\) 通过 \(x\) 的倍数最多能翻出来 \(\left \lfloor{ \frac{h-k}{x}}\right \rfloor + 1\)（加一是考虑 \(x\) 的系数为 \(0\)）。答案加起来。
嗯我 \(x\) 写成 \(t\) 是因为两个变量名重了。调了一阵子。感谢机房大佬帮我调。
特别注意当 \(x\) 为 \(1\) 时其模数没有意义，需要特判。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=2e5+10;
ll h,ans;
int t,y,z;
priority_queue<pair<ll,int> >q;
int idx,e[N],w[N],nxt[N],head[N];
int vis[N];
ll d[N];
void add(int x,int y,int z){
e[++idx]=y;
w[idx]=z;
nxt[idx]=head[x];
head[x]=idx;
}
void dij(){
memset(d,0x3f,sizeof d);
d[1%t]=1;
q.push(make_pair(-1,1%t));
while(q.size()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(d[e[i]]>d[x]+w[i]){
d[e[i]]=d[x]+w[i];
q.push(make_pair(-d[e[i]],e[i]));
}
}
}
}
int main(){
scanf("%lld%d%d%d",&h,&t,&y,&z);
for(int i=0;i<t;i++){
add(i,(i+y)%t,y);
add(i,(i+z)%t,z);
}
dij();
for(int i=0;i<t;i++) if(h>=d[i]&&d[i]!=INF) ans+=((h-d[i])/t+1);
printf("%lld",ans);
}
例题 2：P2371 [国家集训队] 墨墨的等式
做法类比上一题，对于以一个数作为基准建边跑同余最短路，最后对于区间类似前缀和统计。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e6+10;
ll l,r,ans;
ll d[N];
int n;
int vis[N];
int idx,e[N],w[N],nxt[N],head[N];
priority_queue<pair<int,int> > q;
void add(int x,int y,int z){
e[++idx]=y;
w[idx]=z;
nxt[idx]=head[x];
head[x]=idx;
}
void dij(){
memset(d,0x3f,sizeof d);
d[0]=0;
q.push(make_pair(0,0));
while(q.size()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(d[e[i]]>d[x]+w[i]){
d[e[i]]=d[x]+w[i];
q.push(make_pair(-d[e[i]],e[i]));
}
}
}
}
int main(){
int x,y;
scanf("%d%lld%lld%d",&n,&l,&r,&x);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d",&y);
for(int i=0;i<x;i++) add(i,(i+y)%x,y);
}
dij();
l--;
for(int i=0;i<x;i++){
if(r>=d[i]) ans+=(r-d[i])/x+1;
if(l>=d[i]) ans-=(l-d[i])/x+1;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
注意这个题，数组需要开 5e6。开大了会 MLE，小了会显示 TLE。别问我怎么知道的。
