10.31 模拟赛小记

抽象场。打完人自闭的那种。

得分情况：$80-0-30-30$。

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A：从 $0$ 走到 $n$。在 $i$ 位置时，等概率走的走到 $[i+1,n]$（视为一步）。求期望步数。

哥们赛时，爆搜打表找规律。。。最后写的 O(n)，没看到第九个数据点没有特判。对于最后一个点 1e18，递推式写出来但不会进一步求。遗憾离场。

以下是正确的推导过程。

另 $f[i]$ 表示走到 $i$ 时的期望步数。$0<j<i-1$，让 $i$ 从 $j$ 转移过来，每种可能都为 $1/i$，最后加上转移的这一步。得到 o(n^2) 的暴力 dp。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int n;
db f[N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++) f[i]+=f[j];
		f[i]=f[i]/i+1;
	}
	printf("%.6lf",f[n]);
}

加上前缀和优化，得到 $O(n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int n;
db f[N],sum;
int main(){
	scanf("%d",&n); 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=sum/i+1;
		sum+=f[i]; 
	}
	printf("%.6lf",f[n]);
}

这就 80pts。然后打表特判第九个点。数组存不下，直接用变量。

考虑最后 $n<=1e18$，肯定有什么规律。大胆猜想：$f_i=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$。

然后证明：

$d{p}_i=\frac{1}{i}({\displaystyle \sum _{j=0}^{i-1}d{p}_j+1}$

​ $=\frac{1}{i}({\displaystyle \sum _{j=0}^{i-2}d{p}_j+d{p}_{i-1})+1}$

​ $=\frac{1}{i}({\displaystyle \sum _{j=0}^{i-2}d{p}_j+(\frac{1}{i-1}({\displaystyle \sum _{j=0}^{i-2}d{p}_j)+1))+1}}$

​ $=\frac{1}{i}(\frac{i}{i-1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{i=2}d{p}_j+1)+1}$

​ $=(\frac{1}{i-1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{i-2}d{p}_j+1)+\frac{1}{i}}$

​ $=d{p}_{i-1}+\frac{1}{i}$

然后就是调和级数的计算了。调和级数是什么，我也不是很懂，只是知道这样的式子：

$H_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\ln n+\gamma +{\epsilon }_n}$

$\gamma$ 为欧拉-马歇尔罗尼常数。约为 $0.577215664901532860606512090082$ 。

${\epsilon }_n$ 约等于 $\frac{1}{2n}$，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时 ${\epsilon }_m\to 0$。

因此小范围暴力，大范围输出这个。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
ll n;
db sum;
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	if(n>5e8){
		printf("%.6lf",log(n)+0.57721566490153286060);
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=1.0/i;
	printf("%.6lf",sum);
}

注意 c++ 中 log() 默认是数学中的 ln()，以 2 为底是 lg2()，以 10 为底是 lg10()。