10.28 模拟赛小记

梦熊 10 连测的第八个了。

写在亲前面的总结：因为下午班级合唱比赛，所以不太想打比赛，想去看演出的。鉴于我们第一个唱完，以及班主任说节目可以看到 15:40，所以一直在玩上去的很晚。之后在机房继续看完了节目。所以本场打的还挺抽象。

更加难评的是这竟然是我打的最好的一场（？），有点开心，但还是破防了。

一开始根据爆搜想的 $O (n)$ 的递推式子。

设 $f [i]$ 表示长度为 $i$ 时的方案数。

第 $i$ 位有两种放发：若放 $0$ 则答案不受限，同 $f [i - 1]$ ；放 $1$ ，考虑 $i - 1$ 位放 $0$ ，则 $i - 2$ 受限只能放 $0$ ，答案即为 $f [i - 3]$ ；考虑 $i - 1$ 位放 $1$ ，则第 $i - 2$ 位只能放 $0$ ，此时 $i - 3$ 只能放 $0$ ，则答案为 $f [i - 4]$ 。这样就有 60pts 的好成绩了。

综上， $f [i] = f [i - 1] + f [i - 3] + f [i - 4]$ 。

在我写完了这个递推式之后有了一个逆天的想法：它一定能打表预处理。于是我就开动了。

在这里详细记录一下我的打表方法。感觉最近打表能力日益增加。某种意义上讲，这是不可多得的第一手宝贵经验，很不容易的。

没有原因的写了一个答案取模之后的标记，标记取模后答案的分布情况个数。发现在去到大于模数的答案之后，这个统计就没有变过了。

这说明取模后的答案种类数固定，也就是可能出现了循环节。于是每次到达这个统计的极值之后，记录当前位置。最后输出，发现他们的差一样。整理了一下，就找到了循环节作为模数。完美结束。

赛后考虑到，递推式的取模序列，是否一定存在循环节？bdfs 了一下，只看到一篇 blog 提到了这个问题，感觉挺有道理的但是我无法证明他的正确性。

于是找了同机房大佬 @御坂17379号帮忙看。他认为差不多是正确的，所以这里就认为它是正确的。

结论：递推式的取模序列一定存在循环节。

只是找起来有些麻烦。有一种暴力的美。嗯。个人认为打表有助于提升专注度，愉悦身心，陶冶情操。

下面是我美丽的码。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+10;
const int mod=10007;
ll t;
int n;
int a[N];
void solve(){
	a[0]=1,a[1]=2,a[2]=4,a[3]=6,a[4]=9;
	for(int i=5;i<=20016;i++){
		a[i]=a[i-1]+a[i-3]+a[i-4];
		a[i]=a[i]%mod;
	}
	n=(t%20016);
	printf("%d",a[n]);
}
int main(){
	freopen("queue.in","r",stdin);
	freopen("queue.out","w",stdout); 
	scanf("%lld",&t);
	if(t>=N-10){
		solve();
		return 0;
	}
	n=(int)t;
	a[1]=2,a[2]=4,a[3]=6,a[4]=9;
	for(int i=5;i<=n;i++){
		a[i]=a[i-1]+a[i-3]+a[i-4];
		a[i]=a[i]%mod;
	}
	printf("%d",a[n]);
}