Meet in the middle

meet in the middle in oiwiki。

meet in the middle，也可以叫折半搜索，是一种用来优化爆搜的方式。

适用于一些数据范围比较小可以爆搜——但还没有小到可以直接搜的程度。可以让复杂度从 $O(a^b)$ 降到 $O(a^{b/2})$

适用的题目一般与异或有关（才能拆成两半搜）。

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P2962 [USACO09NOV] Lights G

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=40;
int n,m;
int ansn=0x3f3f3f3f;
ll all,vis[N];
map<ll,int> ans;
void dfs(int l,int r,int now,int tot){
	if(ans[now]) ans[now]=min(ans[now],tot);
	else ans[now]=tot;
	if(ans[now^all]||now==all) ansn=min(ansn,ans[now^all]+tot);
	if(l>r) return;
	dfs(l+1,r,now,tot);
	dfs(l+1,r,now^vis[l],tot+1);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(m--){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		vis[x]^=1<<y;
		vis[y]^=1<<x; 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		all^=1<<i;
		vis[i]^=1<<i;
	}
	dfs(1,n/2,0,0);
	dfs(n/2+1,n,0,0);
	printf("%d",ansn);
}

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[ABC271F] XOR on Grid Path

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=22;
int n;
ll ans;
ll a[N][N];
map<ll,int> cnt[N][N];
void dfs1(int x,int y,ll now){
	now^=a[x][y];
	if(x+y==n+1){
		cnt[x][y][now]++;
		return;
	}
	dfs1(x+1,y,now);
	dfs1(x,y+1,now);
}
void dfs2(int x,int y,ll now){
	if(x+y==n+1){
		ans+=cnt[x][y][now];
		return;
	}
	now^=a[x][y];
	dfs2(x-1,y,now);
	dfs2(x,y-1,now);
} 
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	dfs1(1,1,0);
	dfs2(n,n,0);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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CF1006F

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=25;
int n,m;
ll k,cnt;
ll a[N][N];
map<ll,int> ans[N][N];
void dfs1(int x,int y,ll now){
	now^=a[x][y];
	if(x+y==(n+m)/2+1){
		ans[x][y][now]++;
		return; 
	}
	dfs1(x,y+1,now);
	dfs1(x+1,y,now);
}
void dfs2(int x,int y,ll now){
	if(x<0||y<0) return;
	if(x+y==(n+m)/2+1){
		cnt+=ans[x][y][k^now];
		return;
	}
	now^=a[x][y];
	dfs2(x-1,y,now);
	dfs2(x,y-1,now);
}
int main(){
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&a[i][j]);
	dfs1(1,1,0);
	dfs2(n,m,0);
	printf("%lld",cnt);
	return 0;
}