5.8 单调栈 & 悬线法 & 相关的题（和 dp 也多少沾点）

今日小题：一个 CF div2 的 A 的签到题，记录一下这个做法：

求一个字符串的最长非回文字符串：无解：长度为 1 或整个串每个字符都一样；有解：判断这个串是不是回文，如果不是，输出长度，如果是输出长度 - 1。感觉非常妙。不写证明，感觉非常好想...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
string s;
void finish()
{
    cin >> s;
    int len = s.size();
    int flag = 0;
    for(int i = 1; i < len; i ++ ) if(s[i] != s[i - 1]) {flag = 1;break;}
    if(! flag || len == 1)
    {
        printf("-1\n");
        return;
    }
    int i = 0, j = len - 1;
    while(i < j)
    {
        if(s[i] == s[j]) {i ++;j --;}
        else {flag = 0;break;}
    }
    if(! flag) printf("%d\n", len);
    else printf("%d\n", len - 1);
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T -- ) finish();
    return 0;
}

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单调栈引入：SP1805 洛谷传送门

首先设想一下，如果矩形高度单增就好处理了，这样我们就可以直接从头到尾向右看，根据当前即最低点的高度和往右的高度来统计。

但矩形高度并不单增啊，那就想办法让它单增。

然后就会发现，如果当前矩形的高度已经小于前面矩形高度了话，那统计答案时它上面那一块就彻底没用了。所以我们可以记录这一段没用玩意的宽度，用一个宽度累加、高度为当前矩形高度的新矩形，也就是粉色标记的这一部分，把这一块直接替代掉。顺便更新一下答案。这样一来就能保证所有矩形的高度始终单调递增，就能按照前面的思路统计矩形了。

因此本题的实质，是用单调栈去维护一个高度单增的矩形序列。

细说思路，若当前高度比栈顶高就直接进栈，并标记初始宽度。否则，让栈顶一直出栈直到不再比当前高，每次宽度累加，用宽度乘现在处理的矩形高度（因为已满足单调），更新往前找的这一段的答案和宽度。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], s[N], w[N];
void finish()
{
    ll ans = 0;
    int x, top = 0;
    a[n + 1] = 0;
    memset(s, 0, sizeof s);
    memset(w, 0, sizeof w);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n + 1; i ++ )
    {
        if(a[i] > s[top]) {s[++ top] = a[i]; w[top] = 1;continue;}
        ll kuan = 0;
        while(s[top] > a[i])
        {
            kuan += w[top];
            ans = max(ans, kuan * s[top]);
            top --;
        }
        s[++ top] = a[i];
        w[top] = kuan + 1;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main()
{
    while(cin>>n) finish();
    return 0;
}

至于单调栈，其实就是在筛选可以选择的选项，及时排除掉已经没用了的东西，和单调队列比较类似（说白了原理一样），从而维护答案序列。