2023.3.27

整理了一点状压。

拜托，但是我的状压真的学的和个什么东西一样啊。

我感觉状压 dp 真的很抽象，总结了一下状压 dp 的一些解题要点，以及下面的例题。

1.什么样的题像状态压缩 dp？ 一般 n <= 20，处理问题中存在抉择过程，且每种选择都互有影响的问题。

正经来讲就是爆搜，状压也是爆搜的思路，把每一种可能的状态都枚举出来了。这样的题目，用爆搜注意剪枝，疯狂剪就能过。用状压就注意转移的条件。

2.重点：状态转移。注意什么变量的选择对答案有影响？一般用 f[i][j] 表示状态 i 时上一次从 j 转移而来。

3.难点：注意状态转移的条件：怎么才能转移？究竟是包含于当前状态还是不包含？如果有相交还能进行吗？想清楚。

4.细节问题：怎么转移过来，以及最后输出的是什么样的一种问题。

5.关键的小点：建议先写爆搜，弄清楚自己在干啥，把状态设置好，别把自己绕晕了捏！

---

1.AcWing：91. 最短Hamilton路径

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 21;
int n;
int a[N][N], f[1 << N][N];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
        for(int j = 0; j < n; j ++ )
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            a[j][i] = a[i][j];
        }
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;
    for(int i = 2; i < (1 << n); i ++ )
    {
        for(int cur = 1; cur < n; cur ++ )
        {
            if(! (i & (1 << cur))) continue;
            for(int pre = 0; pre < n; pre ++ )
            {
                if(! (i & (1 << pre)) || pre == cur) continue;
                f[i][cur] = min(f[i][cur], f[i - (1 << cur)][pre] + a[pre][cur]);
            }
        }
    }
    printf("%d", f[(1 << n) - 1][n - 1]);
}

用 f[i][j] 两维状态，表示当状态为 i 时上一次选择的第 j 个城市。枚举每一种可能的状态，然后枚举最后的位置，以及上一次是从哪里转移过来的，如果满足条件可以转移（这个城市存在于本次状态），更新。最后答案 f[(1 << n) - 1][n - 1]，表示每个城市都走过，从最后一个城市来。

---

2.AcWing：291. 蒙德里安的梦想

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 12, M = 1 << N;
int n, m;
ll f[N][M];
int st[M];
int main()
{
    while(cin >> n >> m, n || m)
    {
        for(int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            int cnt = 0;
            st[i] = 1;
            for(int j = 0; j < n; j ++ )
            {
                if(i >> j & 1 && cnt & 1) st[i] = 0;
                if(!(i >> j & 1)) cnt ++; 
            }
            if(cnt & 1) st[i] = 0;
        }
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i ++ )
            for(int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                for(int k = 0; k < 1 << n; k ++ )
                    if((j & k) == 0 && st[j | k]) f[i][j] += f[i - 1][k];
        printf("%lld\n", f[m][0]);
    }
    return 0;
}

需要考虑的问题：

1.将所有横向长方形放完后，竖向长方形的放置方法有且只有一种，所以只用枚举放置横向长方形的可能性。　　

2.满足条件1：摆放完横向长方形后，剩余位置每一行的连续方块个数不能为奇数个（若为奇数个则放竖向长方形会放不开）。实现方法：预处理每一种状态，是否合法。

3.满足条件2：在转移放置的横向长方形时，相邻的两列，横向长方形不能有冲突（比如出现一个方格构成左边一个横向长方形右边一个横向长方形），且此时两种状态相交，总状态合法。

4.最后枚举答案，按照 1 的思路，关注一下这一列和上一列的情况，统计可能放置横向长方形的方案数之和即为总答案。

5.答案 f[m][0] 意为，从 m - 1 行伸展出来，最后一列 m 的状态为 0 的个数。